Question

Пожалуста помогите решить у меня вообще школы толком не было. найти производные. 1. y=arctg^3(4x-5) 2. y=1/2x^2-1/3x^3+3^√x 3. y=x/6(x+1) 4. {x=cos t {y=ctg t Смотреть ответ Simba2017 Simba2017 4)y`(t)/x`(t)=-sint/(-1/sin^2t)=sin^3t 1)y`=3arctg^2(4x-5)/(1+(4x-5)^2)*4=12arctg^2(4x-5)/(16x^2-40x+26) 2)y`=(1/2)*2x-(1/3)*3x^2+3^(√x)*ln3*1/(2√x)=x-x^2+3^(√x)lnx/(2√x) 3)y=x^2/6+x/6 y`=2x/6+1/6=x/3+1/6

Answer 1

Давайте разберемся с каждой из этих функций и найдем их производные:

1. $y = \arctan^3(4x - 5)$

Для нахождения производной этой функции используем цепное правило (chain rule). Пусть $u = 4x - 5$, тогда $y = \arctan^3(u)$. Производная $\arctan(u)$ равна $\frac{1}{1+u^2}$. Применяем цепное правило трижды:

$y' = 3\arctan^2(u) \cdot \frac{1}{1+u^2} \cdot 4 = \frac{12\arctan^2(4x-5)}{1+(4x-5)^2}$

2. $y = \frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{3}x^3 + 3^{\sqrt{x}}$

$y' = x - x^2 + \frac{3^{\sqrt{x}} \ln 3 \cdot 1}{2\sqrt{x}}$

3. $y = \frac{x}{6(x+1)}$

Для упрощения функции, сначала найдем общий знаменатель:

$y = \frac{x}{6x + 6}$

Теперь найдем производную:

$y' = \frac{(6x + 6) - x \cdot 6}{(6x + 6)^2} = \frac{6}{(6x + 6)^2}$

4. $x = \cos(t), y = \cot(t)$

Используя тригонометрические тождества $\cot(t) = \frac{\cos(t)}{\sin(t)}$ и $\sin^2(t) + \cos^2(t) = 1$, можем найти производные:

$x'(t) = -\sin(t)$ $y'(t) = -\csc^2(t)$

Теперь можно найти отношение производных $y'(t)/x'(t)$:

$\frac{y'(t)}{x'(t)} = \frac{-\csc^2(t)}{-\sin(t)} = \sin(t)\csc^2(t) = \sin^3(t)$