Question

Решить уравнение 2 sin⁴x+3cos2x+1

Answer 1

2(1-сos2x)²/4 +3cos2x+1=0
1-2cos2x+cos²2x+6cos2x+2=0
cos2x=a
a²+4a+3=0
a1+a2=-4 U a1*a2=3
a1=-3⇒cos2x=-3<-1 нет решения
a2=-1⇒cos2x=-1⇒2x=π+2πn⇒x=π/2+πn,n∈z

Answer 2

Для решения данного уравнения, давайте раскроем тригонометричкие выражения и попробуем упростить его.

Уравнение:

2sin^4(x) + 3cos(2x) + 1 = 0

Используем формулу для косинуса двойного угла: cos(2x) = 2cos^2(x) - 1

Теперь уравнение выглядит так:

2sin^4(x) + 3(2cos^2(x) - 1) + 1 = 0

Упростим:

2sin^4(x) + 6cos^2(x) - 3 + 1 = 0

2sin^4(x) + 6cos^2(x) - 2 = 0

Теперь, заметим, что sin^2(x) + cos^2(x) = 1 (это тождество Пифагора). Мы можем выразить sin^2(x) как 1 - cos^2(x).

2(1 - cos^2(x))^2 + 6cos^2(x) - 2 = 0

Упростим ещё:

2(1 - 2cos^2(x) + cos^4(x)) + 6cos^2(x) - 2 = 0

2 - 4cos^2(x) + 2cos^4(x) + 6cos^2(x) - 2 = 0

Теперь объединим члены:

2cos^4(x) + 2cos^2(x) - 2 = 0

Делим уравнение на 2:

cos^4(x) + cos^2(x) - 1 = 0

Теперь введем замену. Обозначим cos^2(x) за y:

y^2 + y - 1 = 0

Это квадратное уравнение относительно y. Решим его с помощью формулы квадратного уравнения:

D = 1^2 - 4 * 1 * (-1) = 1 + 4 = 5

y1,2 = (-1 ± √5) / (2 * 1)

y1 = (-1 + √5) / 2 y2 = (-1 - √5) / 2

Теперь вернемся к исходной переменной cos^2(x):

cos^2(x) = (-1 + √5) / 2 или cos^2(x) = (-1 - √5) / 2

Для каждого из этих значений cos^2(x) найдем cos(x):

1. cos(x) = √((-1 + √5) / 2)
2. cos(x) = √((-1 - √5) / 2)

Теперь, чтобы найти значения угла x, возьмем обратный косинус (арккосинус) от каждого из этих значений:

1. x = arccos(√((-1 + √5) / 2))
2. x = arccos(√((-1 - √5) / 2))

Таким образом, у вас есть два значения угла x, которые удовлетворяют исходному уравнению.

Answer 3

Для решения данного уравнения, давайте сначала преобразуем его, используя тригонометрические тождества. Уравнение выглядит следующим образом:

2sin^4(x) + 3cos(2x) + 1 = 0

Сначала преобразуем cos(2x) с использованием тождества:

cos(2x) = 2cos^2(x) - 1

Теперь подставим это значение в уравнение:

2sin^4(x) + 3(2cos^2(x) - 1) + 1 = 0

Упростим уравнение:

2sin^4(x) + 6cos^2(x) - 3 + 1 = 0

2sin^4(x) + 6cos^2(x) - 2 = 0

Далее, мы можем заметить, что sin^2(x) + cos^2(x) = 1 (тождество Пифагора). Таким образом, sin^2(x) = 1 - cos^2(x). Подставим это значение в уравнение:

2(1 - cos^2(x))^2 + 6cos^2(x) - 2 = 0

Теперь давайте введем замену, чтобы упростить уравнение. Обозначим cos^2(x) как t:

2(1 - t)^2 + 6t - 2 = 0

Теперь решим это уравнение относительно t:

2(1 - t)^2 + 6t - 2 = 0

Раскроем квадрат и упростим:

2(1 - 2t + t^2) + 6t - 2 = 0

2 - 4t + 2t^2 + 6t - 2 = 0

2t^2 + 2t - 4 = 0

Теперь решим это квадратное уравнение:

t^2 + t - 2 = 0

(t + 2)(t - 1) = 0

Теперь найдем два значения t:

1. t + 2 = 0 t = -2

2. t - 1 = 0 t = 1

Теперь вернемся к исходной переменной cos^2(x):

1. cos^2(x) = -2 Данное значение не имеет физического смысла, так как квадрат косинуса не может быть отрицательным. Следовательно, это решение отбрасываем.

2. cos^2(x) = 1 Отсюда следует, что cos(x) = ±1. Решим для x:

a) cos(x) = 1 Это значит, что угол x равен 0 или любому углу, кратному 2π, то есть x = 2πn, где n - целое число.

b) cos(x) = -1 Это значит, что угол x равен π или любому углу, кратному π, то есть x = π + 2πn, где n - целое число.

Таким образом, уравнение имеет бесконечное множество решений:

x = 2πn (для cos(x) = 1) или x = π + 2πn (для cos(x) = -1), где n - целое число.