Question

Докажите , что любое натуральное число большее 5 можно представить как сумму простого и составного.

Answer 1

Одним из свойств простых чисел является утверждение, что множество простых чисел бесконечно (т. е. среди простых чисел нет наибольшего).Доказал это свойство простых чисел еще Евклид, используя метод от противного. Доказательство выглядит примерно так. Предположим, что множество простых чисел конечно, остальные числа являются составными. Найдем произведение всех существующих простых чисел и к этому результату добавим единицу. Понятно, что получившееся число больше любого из простых. Из предположения, что множество простых чисел конечно, следует, что получившееся число составное. Но если оно составное, то должно при разложении на множители содержать простые множители. Однако это не могут быть множители, которые использовались при образовании этого числа, т. к. к результату была добавлена 1, и, следовательно, произведение уже не делится нацело ни на одно из них (будет получаться остаток 1). Таким образом, приходим к выводу, что существуют иные простые числа, помимо использованных. Например, 2 * 3 * 5 * 7 + 1 = 211. Число 211 само является простым.
2 * 3 * 5 * 7 * 11 + 1= 2311. Число 2311 также простое. [ Т. е. произведение всех подряд идущих простых чисел от первого и до определенного и плюс 1 всегда будет давать простое число? Проверяем:
2 * 3 + 1 = 7,
2 * 3 * 5 + 1 = 31.
Но если числа идут не от первого простого и не подряд, то в результате простое число не всегда получается:
3 * 5 * 7 + 1 = 106 (составное)
2 * 5 * 7 + 1 = 71 (простое)
2 * 3 * 7 + 1 = 43 (простое)
3 * 5 * 7 * 11 + 1 = 1156 (составное)
3 * 11 * 13 + 1 = 430 (составное)
2 * 3 * 11 * 13 + 1 = 859 (простое)
Получается, что число 2 в этой формуле (n = p1 * p2 * … + 1) всегда приводит к простому числу в результате, независимо от того, какие взяты остальные простые числа. Без него всегда получается составное, также независимо от того, как и каком количестве взяты простые.]

Answer 2

Давайте докажем данное утверждение по индукции.

1. Базовый случай: Пусть n = 6. Тогда 6 = 5 + 1, где 5 - это простое число, а 1 - составное (1 = 1 * 1).

2. Предположение индукции: Допустим, утверждение верно для некоторого натурального числа k, то есть k можно представить в виде суммы простого и составного числа.

3. Шаг индукции: Рассмотрим число k + 1. Есть два случая:

   3.1. Если k + 1 - простое число, то мы уже получили сумму простого числа (k + 1) и нуля.

   3.2. Если k + 1 - составное число, то мы можем разложить его на простые множители. Поскольку k также можно представить в виде суммы простого и составного числа (по предположению индукции), мы можем записать k = p + c, где p - простое число, а c - составное число. Тогда k + 1 = (p + 1) + c, и мы видим, что k + 1 теперь представляется в виде суммы простого числа (p + 1) и составного числа c.

Таким образом, мы доказали, что если утверждение верно для некоторого натурального числа k, то оно также верно для k + 1. По принципу математической индукции, утверждение верно для всех натуральных чисел больше 5.