Question

Найдите числовое значение выражения tg^2X+ctg^2X при условии tgX+ctgX=7

Answer 1

Відповідь: 47.

tg²х+ctg²х -?, якщо tgх+ctgх=7

(tgх+ctgх)²=7²,

[ (а+b)²=a²+2ab+b² ].

tg²х+2tgx×ctgx+ctg²х =49,

[tgx×ctgx=1]

tg²х+ctg²х = 49-2;

tg²х+ctg²х =47.

Answer 2

Для решения данной задачи давайте воспользуемся следующими тригонометрическими тождествами:

$$\begin{align*} \tan^2(X) + 1 &= \sec^2(X) \\ \cot^2(X) + 1 &= \csc^2(X) \end{align*}$$

Исходя из условия $\tan(X) + \cot(X) = 7$, мы можем выразить $\tan^2(X) + \cot^2(X)$ следующим образом:

$$\tan^2(X) + \cot^2(X) = (\tan(X) + \cot(X))^2 - 2\tan(X)\cot(X)$$

Теперь мы можем подставить значение $\tan(X) + \cot(X) = 7$ и найти $\tan(X)\cot(X)$:

$$\tan^2(X) + \cot^2(X) = 7^2 - 2\tan(X)\cot(X)$$

Нам нужно найти значение $\tan(X)\cot(X)$. Для этого давайте воспользуемся другим тригонометрическим тождеством:

$$\tan(X)\cot(X) = 1$$

Таким образом, выражение $\tan^2(X) + \cot^2(X)$ при условии $\tan(X) + \cot(X) = 7$ равно:

$$7^2 - 2\times1 = 49 - 2 = 47$$