Question

Доведіть, що трицифрове число, яке записано трьома однаковими цифрами, кратне 37.

Answer 1

Ответ:

Всі трицифрові числа з однаковими цифрами можна подати у виді 111n, де n — довільне натуральне число. Оскільки 111 ділиться на 37, то й 111∙n ділиться на 37

Answer 2

Для доведення цього твердження ми можемо використати алгебраїчні маніпуляції.

Нехай трицифрове число, записане трьома однаковими цифрами, буде $n\cdot 111$, де $n$ є цілою трьохзначною цифрою. Ми можемо представити це число у вигляді $n\cdot (100 + 10 + 1)$. Це можна переписати як:

$n\cdot 111 = n\cdot (100 + 10 + 1) = 100n + 10n + n.$

Тепер ми можемо спростити це вираз, щоб отримати:

$111n = 100n + 10n + n = 111n.$

Таким чином, ми бачимо, що вираз підсумовується в $111n$, що означає, що кожне таке трицифрове число, записане трьома однаковими цифрами, ділиться на 111 без залишку.

Тепер, щоб довести, що це число також кратне 37, ми маємо показати, що воно також кратне 37.

Давайте введемо змінну $n$ як суму $37a$, де $a$ є деяким цілим числом. Тоді наше число буде:

$111n = 111 \cdot (37a) = 4077a.$

Тобто, ми бачимо, що $4077a$ ділиться на 37 без залишку, оскільки 4077 також ділиться на 37 без залишку. Отже, ми довели, що кожне трицифрове число, яке записано трьома однаковими цифрами, є кратним 37.