Question

Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна 2√3, а двугранный угол при основании 60°. Найти объем пирамиды

Answer 1

V=3 од³

###################

Answer 2

Для нахождения объема правильной треугольной пирамиды можно использовать следующую формулу:

V = (1/3) * S * h,

где V - объем пирамиды, S - площадь основания пирамиды, а h - высота пирамиды.

Для начала найдем площадь основания пирамиды, которое является правильным треугольником. Мы знаем, что сторона основания равна 2√3, а двугранный угол при основании 60°. Площадь правильного треугольника можно найти с помощью следующей формулы:

S = (a^2 * √3) / 4,

где "a" - длина стороны треугольника.

В данном случае:

a = 2√3.

Теперь мы можем найти S:

S = (2√3)^2 * √3 / 4 S = (12 * √3) / 4 S = 3√3.

Теперь нужно найти высоту пирамиды (h). Мы знаем, что двугранный угол при основании равен 60°. Это означает, что пирамида разбивает правильный треугольник на два равнобедренных треугольника, каждый из которых имеет угол в вершине в 60°. Мы также знаем, что угол между боковой гранью и основанием пирамиды равен 90°. Таким образом, мы можем использовать тригонометрические соотношения, чтобы найти высоту пирамиды. Высота (h) будет являться гипотенузой прямоугольного треугольника, а половина стороны основания (a/2) будет являться прилегающим катетом.

Таким образом, мы можем использовать тригонометрический синус 60°:

sin(60°) = (a/2) / h.

sin(60°) = √3 / 2.

Теперь мы можем найти высоту (h):

√3 / 2 = (2√3/2) / h,

h = (2√3/2) / (√3/2) h = (2√3/2) * (2/√3) h = 2.

Теперь у нас есть площадь основания (S = 3√3) и высота (h = 2). Мы можем найти объем пирамиды, используя формулу:

V = (1/3) * S * h V = (1/3) * (3√3) * 2 V = 2√3.

Таким образом, объем правильной треугольной пирамиды равен 2√3.