Question

У трикутнику АВС відомо, що А(3;-1;-2), В(-5;7;4), С(2;10;4). Знайдіть довжину середньої лінії MN трикутника АВС, де M i N середини сторін АС і ВС відповідно

Answer 1

Ответ:

Длина средней линии MN треугольника АВС равна $\sqrt{41}$

Пошаговое объяснение:

Перевод: В треугольнике АВС известно, что А(3;-1;-2), В(-5;7;4), С(2;10;4). Найдите длину средней линии MN треугольника АВС, где M и N середины сторон АС и ВС, соответственно.

Информация: 1) Средняя линия треугольника — это отрезок, соединяющий середины двух его сторон.

2) Координаты (x₀;y₀;z₀) середина T отрезка PQ, где P(x₁;y₁;z₁) и Q(x₂;y₂;z₂) определяются по формулам

$\displaystyle \tt x_0=\frac{x_1+x_2}{2}, \; y_0=\frac{y_1+y_2}{2}, \; z_0=\frac{z_1+z_2}{2}.$

3) Длина отрезка PQ, где P(x₁;y₁;z₁) и Q(x₂;y₂;z₂), определяется по формуле

$\displaystyle \tt |PQ|=\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2+(z_1-z_2)^2}.$

Решение. Так как MN средняя линия и точка M середина отрезка АС и N середина отрезка ВС, то

$\displaystyle \tt M\left (\frac{3+2}{2}; \frac{-1+10}{2};\frac{-2+4}{2} \right ), \;N\left (\frac{-5+2}{2}; \frac{7+10}{2};\frac{4+4}{2} \right )$

или

$\displaystyle \tt M\left (\frac{5}{2}; \frac{9}{2};1 \right ), \;N\left (\frac{-3}{2}; \frac{17}{2};4 \right ).$

Вычислим длину средней линии MN треугольника

$\displaystyle \tt |MN|=\sqrt{\left (\frac{5}{2}-\left(\frac{-3}{2} \right) \right)^2+\left (\frac{9}{2}-\frac{17}{2} \right)^2+(1-4)^2} =\\\\=\sqrt{\left (\frac{5+3}{2} \right)^2+\left (\frac{9-17}{2} \right)^2+(-3)^2} =\\\\=\sqrt{4^2+ (-4)^2+(-3)^2} =\sqrt{16+16+9} =\sqrt{41}.$

#SPJ1

Answer 2

Для знаходження довжини середньої лінії MN трикутника ABC, спочатку знайдемо координати точок M та N, які є серединами сторін AC і BC відповідно.

Координати точки M (середина сторони AC) можна знайти, взявши середнє значення координат точок A і C.

M(x, y, z) = ((x_A + x_C) / 2, (y_A + y_C) / 2, (z_A + z_C) / 2)

M(x, y, z) = ((3 + 2) / 2, (-1 + 10) / 2, (-2 + 4) / 2) M(x, y, z) = (5/2, 9/2, 1)

Тепер знайдемо координати точки N (середина сторони BC), аналогічно:

N(x, y, z) = ((x_B + x_C) / 2, (y_B + y_C) / 2, (z_B + z_C) / 2)

N(x, y, z) = ((-5 + 2) / 2, (7 + 10) / 2, (4 + 4) / 2) N(x, y, z) = (-3/2, 17/2, 4)

Тепер, коли ми знаємо координати точок M і N, можемо обчислити довжину відрізка MN за допомогою формули відстані між двома точками в тривимірному просторі:

D(MN) = √((x_N - x_M)² + (y_N - y_M)² + (z_N - z_M)²)

D(MN) = √((-3/2 - 5/2)² + (17/2 - 9/2)² + (4 - 1)²) D(MN) = √((-4)² + (8)² + (3)²) D(MN) = √(16 + 64 + 9) D(MN) = √89

Отже, довжина середньої лінії MN трикутника ABC дорівнює √89 одиниць.