Question

Необходимо подробное решение,а не просто ответ. lim (sinx-cosx)/cos2x при x⇒pi/4

Answer 1

$\lim_{x \to \frac{ \pi }{4}} ( \frac{sinx-cosx}{cos(2x)})= \lim_{x \to \frac{ \pi }{4}} ( \frac{sinx-cosx}{cos^{2}x-sin^{2}x})=\lim_{x \to \frac{ \pi }{4}} ( \frac{sinx-cosx}{(cosx-sinx)(cosx+sinx)})=\lim_{x \to \frac{ \pi }{4}} ( \frac{-1}{cosx+sinx})=\frac{-1}{cos\frac{ \pi }{4}+sin\frac{ \pi }{4}}=\frac{-1}{2* \frac{ \sqrt{2}}{2}}=\frac{-1}{\sqrt{2}}=-\frac{\sqrt{2}}{2}$

Воспользовалась:
1) формулой двойного угла косинуса:  $cos(2x)=cos^{2}x-sin^{2}x$
2) формулой сокращенного умножения - разность квадратов:
$a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b)$
$cos^{2}x-sin^{2}x=(cosx-sinx)(cosx+sinx)$

Answer 2

Для вычисления предела lim(x→π/4) (sin(x) - cos(x)) / cos^2(x), давайте воспользуемся правилами алгебры пределов и тригонометрии. Начнем с раскрытия косинуса в знаменателе:

cos^2(x) = (1 - sin^2(x))

Теперь заменим cos^2(x) в исходном выражении:

lim(x→π/4) (sin(x) - cos(x)) / (1 - sin^2(x))

Следующий шаг - вынесем общий множитель из числителя:

lim(x→π/4) (sin(x) - cos(x)) = lim(x→π/4) sin(x)(1 - tan(x))

Далее разделим числитель и знаменатель на sin(x):

lim(x→π/4) (sin(x)(1 - tan(x))) / sin(x)

Теперь мы видим, что sin(x) сокращается:

lim(x→π/4) (1 - tan(x))

Теперь подставим x = π/4:

1 - tan(π/4)

Тангенс π/4 равен 1 (это хорошо известный факт):

1 - 1 = 0

Итак, предел выражения lim(x→π/4) (sin(x) - cos(x)) / cos^2(x) равен 0.