Question

A) cos2x + 3sinx = 2 Укажите его наибольшее решение,, принадлежащее отрезку {-3pi;pi} Б) cos2x + 2 = 3cosx Укажите наименьшее значение, принадлежащее отрезку{-2,5pi;-0,5pi}

Answer 1

1) cos2x + 3sinx = 2
cos2x=cos²x-sin²x, cos²x-sin²x  + 3sinx = 2, ,
1-sin²x-sin²x+ 3sinx -2 =0.Пусть sinx=t,тогда sin²x=t² и тогда:-2t²+3t-1=0, 2t²-3t+1=0 
D=3²-4·2·1=9-8=1,t₁=(3+1)/2·2=1,
t₂=(3-1)/4=1/2=0,5.Тогда имеем:   
   sinx=1 ,               sinx=0.5
   x=π/2+2πn            x=(-1)ⁿπ/6+ πn,где n∈Z 
n=0,x₁= π/2 ,             x₂= π/6.
n=1,x₁= π/2+2π/2=3π ,x₂= π- π/6=5π/6 
Ответ: 5π/6  

Б) cos2x + 2 = 3cosx
cos2x=cos²x-sin²x, cos²x-sin²x+2-3 cosx=0
2cos²x-1-3cosx+2=0, 2cos²x-3cosx+1=0
Пусть cosx=t,тогда cos²x=t² и имеем
  2t²-3t+1=0,D=3²-4·2·1=9-8=1,t₁=(3+1)/2·2=1,t₂=(3-1)/4=1/2=0,5.Тогда имеем: 
      cosx=1 и                cosx=0.5
    х= 2πn                  х=+- π/3+ 2πn   
n=-2, х₁=-2π ,           х= -π/3- 2π=-2 2/3π  
Ответ:  х= -2 2/3π =-8π/3 
Укажите наименьшее значение, принадлежащее отрезку{-2,5π;-0,5π}

Answer 2

A) Давайте рассмотрим уравнение cos(2x) + 3sin(x) = 2 и найдем его наибольшее решение на отрезке [-3π, π].

Сначала перепишем уравнение, используя тригонометрические идентичности:

cos(2x) + 3sin(x) = 2

Теперь используем идентичность sin(2x) = 2sin(x)cos(x) для cos(2x):

2cos(x)sin(x) + 3sin(x) = 2

Теперь факторизуем sin(x):

sin(x)(2cos(x) + 3) = 2

Теперь у нас есть два множителя, которые могут быть равны нулю:

1. sin(x) = 0
2. 2cos(x) + 3 = 0

Рассмотрим первый случай:

sin(x) = 0

Это верно, когда x равно кратным π, то есть x = 0, ±π, ±2π и так далее.

Теперь рассмотрим второй случай:

2cos(x) + 3 = 0

2cos(x) = -3

cos(x) = -3/2

Теперь найдем все решения для cos(x) = -3/2 на отрезке [-3π, π]. Обратите внимание, что значение -3/2 для косинуса не лежит в интервале [-1, 1], поэтому уравнение не имеет решений в данном интервале. Таким образом, наибольшее решение уравнения cos(2x) + 3sin(x) = 2 на отрезке [-3π, π] - это x = π.

B) Теперь рассмотрим уравнение cos(2x) + 2 = 3cos(x) и найдем наименьшее значение на отрезке [-2.5π, -0.5π].

Перепишем уравнение, используя тригонометрические идентичности:

cos(2x) - 3cos(x) + 2 = 0

Теперь проведем замену переменной: пусть y = cos(x). Тогда уравнение примет вид:

y^2 - 3y + 2 = 0

Теперь решим это квадратное уравнение:

(y - 1)(y - 2) = 0

Отсюда получаем два значения y:

1. y = 1
2. y = 2

Теперь вернемся к исходной переменной x:

1. Если y = 1, то cos(x) = 1. Это верно, когда x = 0.
2. Если y = 2, то cos(x) = 2. Такого значения косинуса не существует, поэтому этот случай нельзя рассматривать.

Таким образом, наименьшее значение x, принадлежащее отрезку [-2.5π, -0.5π], равно x = 0.