Question

Решить задачу Коши y'+y/x=3x y(1)=1 Срочно

Answer 1

$\displaystyle y'+\frac{y}{x}=3x\\y=uv;y'=u'v+v'u\\u'v+v'u+\frac{1}{x}uv=3x\\u'v+u(v'+\frac{1}{x}v)=3x\\\begin{cases}v'+\frac{1}{x}v=0\\u'v=3x\end{cases}\\\frac{dv}{dx}+\frac{v}{x}=0|*\frac{dx}{v}\\\frac{dv}{v}=-\frac{dx}{x}\\\int\frac{dv}{v}=-\int\frac{dx}{x}\\ln|v|=-ln|x|\\v=\frac{1}{x}\\\frac{du}{xdx}=3x|*xdx\\du=3x^2dx\\\int du=3\int x^2dx\\u=x^3+C\\y=x^2+\frac{C}{x}\\y(1)=1\\1=1+C\\C=0\\\left[y=x^2\right]$

Answer 2

$y'+y/x=3x \\ y=uv \\ y'=u'v+uv' \\\\ u'v+uv'+\frac{uv}{x}=3x \\ \left \{ {{v'+\frac{v}{x}=0} \atop {u'v=3x}} \right. \\ \frac{dv}{dx} =-\frac{v}{x} \\ \frac{dv}{v} =- \frac{dx}{x} \\ lnv=-lnx \\ v=\frac{1}{x} \\ \frac{du}{xdx}=3x \\ du=3x^2dx \\ u=x^3+C \\\\ y=uv=x^2+\frac{C}{x} \\\\ 1+\frac{C}{1}=1\\ C=0 \\\\ Y=x^2$

Answer 3

Давайте решим данное дифференциальное уравнение с начальным условием. Уравнение Коши имеет вид:

y' + (y/x) = 3x

Для начала, мы можем умножить обе стороны на x, чтобы избавиться от дроби:

xy' + y = 3x^2

Теперь это уравнение можно решить, используя метод интегрирующего множителя. Множитель можно найти, заметив, что уравнение является линейным по отношению к y' и y. Мы ищем функцию μ(x), такую, что:

μ(x) * (xy' + y) = μ(x) * 3x^2

где левая сторона станет полной производной от (μ(x)y), и мы сможем проинтегрировать обе стороны:

μ(x) * d/dx(μ(x)y) = 3x^2 * μ(x)

Теперь нам нужно найти μ(x). Для этого используем условие, что μ(x) * (xy' + y) = μ(x) * 3x^2, и сравним коэффициенты при y и y':

μ(x) * x = μ(x) * 3x^2

Таким образом, μ(x) должно удовлетворять следующему уравнению:

μ(x) * (x - 3x^2) = 0

Отсюда видно, что μ(x) может быть равной нулю (что неинтересно) или:

x - 3x^2 = 0

x(1 - 3x) = 0

Это уравнение имеет два корня: x = 0 и x = 1/3.

Теперь давайте рассмотрим два случая:

1. Когда x = 0:

Если x = 0, то уравнение x - 3x^2 = 0 также равно 0. Это может быть начальной точкой, но в этом случае y(0) не определено, и нам нужно рассматривать другую точку.

2. Когда x = 1/3:

Если x = 1/3, то уравнение x - 3x^2 = 0 также равно 0. Это начальная точка, которая соответствует начальному условию y(1) = 1.

Теперь мы можем найти μ(x). Подставим x = 1/3 в уравнение μ(x) * (x - 3x^2) = 0:

μ(1/3) * (1/3 - 3*(1/3)^2) = μ(1/3) * (1/3 - 1/9)

μ(1/3) * (3/9 - 1/9) = μ(1/3) * (2/9)

μ(1/3) * (2/9) = μ(1/3) * (2/9)

Так как 2/9 не равно 0, то μ(1/3) не равно 0, и мы можем разделить обе стороны на (2/9):

μ(1/3) = μ(1/3)

Это уравнение верно для любой функции μ(x). Мы можем взять, например, μ(x) = 9, и это упростит уравнение:

9 * (1/3 - 3*(1/3)^2) = 9 * (1/3 - 1/9)

9 * (1/3 - 1/9) = 9 * (2/9)

9 * (2/9) = 2

Теперь, когда мы знаем μ(x), мы можем решить дифференциальное уравнение, интегрируя обе стороны:

μ(x)y = ∫(3x^2μ(x))dx

9y = ∫(3x^2 * 9)dx

9y = 27x^3/3 + C

9y = 9x^3 + C

Теперь мы можем найти значение константы C, используя начальное условие y(1) = 1:

9 * 1 = 9 * 1^3 + C

9 = 9 + C

C = 0

Итак, у нас есть частное решение:

9y = 9x^3

y = x^3

Таким образом, решение данного дифференциального уравнения Коши с начальным условием y(1) = 1:

y(x) = x^3