Question

Радиус описанной вокруг треугольника АВС с тупым углом при вершине С окружности равен корню из 13. Длина стороны АВ равна корню из 39 , а длина стороны ВС в три раза больше длины стороны АС. Найти длины сторон АС и ВС.

Answer 1

R=√13; АВ=√39; AC=x; BC=3x;
AC - ?; BC - ?;
Радиус описанной вокруг треугольника окружности находится по формуле:
R=AB/2SinC;
SinC=AB/2R;
SinC=√39/2√13;
Найдем CosC по основному тригонометрическому тождеству:
(SinC)^2 + (CosC)^2=1;
(CosC)^2=1-(√39/2√13)^2;
(CosC)^2=1 - 39/52=13/52=0,25;
CosC=-√0,25=-0,5 (берём c минусом, так как угол С тупой);
По теореме косинусов:
(√39)^2=(3х)^2+х^2-2*3х*х*(-0,5);
39=9х^2+х^2+3х^2;
х^2=3;
х=√3 (отрицательный корень не нужен);
сторона АС равна √3;
сторона ВС равна 3х=3√3;
Ответ: √3; 3√3

Answer 2

Давайте обозначим следующие величины:

Пусть $AC = x$. Тогда $BC = 3x$, так как длина стороны ВС в три раза больше длины стороны АС.

Теперь мы можем воспользоваться теоремой Пифагора для нахождения длин сторон треугольника. Так как у нас есть тупой угол при вершине C, мы будем использовать катеты AC и BC и радиус описанной окружности R.

Согласно теореме Пифагора:

$AB^2 = AC^2 + BC^2$

Известно, что радиус описанной окружности R равен корню из 13:

$R = \sqrt{13}$

Длина стороны AB равна корню из 39:

$AB = \sqrt{39}$

Теперь мы можем подставить известные значения и решить уравнение:

$\sqrt{39}^2 = x^2 + (3x)^2$

$39 = x^2 + 9x^2$

$10x^2 = 39$

$x^2 = \frac{39}{10}$

$x = \sqrt{\frac{39}{10}}$

Теперь мы можем найти длины сторон AC и BC:

$AC = \sqrt{\frac{39}{10}}$

$BC = 3\sqrt{\frac{39}{10}}$

Таким образом, длина стороны AC равна $\sqrt{\frac{39}{10}}$, а длина стороны BC равна $3\sqrt{\frac{39}{10}}$.