Question

В прямоугольном треугольнике высота h делит гипотенузу на отрезки, разность длин которых равна 3см. Найти эти отрезки, если высота h=2см

Answer 1

$AB^2=BC^2+AC^2\\(2x+3)^2=x^2+4+(x+3)^2+4\\4x^2+12x+9=x^2+4+x^2+6x+9+4\\2x^2-6x-8=0|:2\\x^2-3x-4=0\\x_1=4\ x_2=-1$
Отрицательной длины быть не может
4 см - длина одного отрезка
7 см - длина второго отрезка

Answer 2

Давайте обозначим длину одного из отрезков, на которые высота h делит гипотенузу, как x, а другого отрезка, как y. Тогда у нас есть следующая информация:

1. h = 2 см (длина высоты).
2. Разность длин отрезков равна 3 см: x - y = 3.

Теперь мы можем воспользоваться теоремой Пифагора для прямоугольного треугольника:

a^2 + b^2 = c^2,

где a и b - катеты, а c - гипотенуза.

В нашем случае a = x и b = y, а c - длина гипотенузы, которую мы пока не знаем.

Так как h - это высота, то мы также можем записать:

a * b = S,

где S - площадь треугольника. В нашем случае S = 2 см^2 (половина площади треугольника).

Теперь у нас есть два уравнения:

1. x - y = 3,
2. x * y = 2.

Мы можем решить эту систему уравнений методом подстановки или методом исключения. Давайте воспользуемся методом исключения. Умножим первое уравнение на x и добавим его к второму:

x * (x - y) = 3x, x^2 - xy = 3x.

Теперь выразим y из этого уравнения:

x^2 - xy - 3x = 0.

Подставим y = x - 3 во второе уравнение:

x * (x - 3) = 2, x^2 - 3x = 2.

Теперь перенесем все члены в одну сторону и получим квадратное уравнение:

x^2 - 3x - 2 = 0.

Теперь найдем корни этого уравнения, используя квадратное уравнение:

D = b^2 - 4ac, D = (-3)^2 - 4 * 1 * (-2), D = 9 + 8, D = 17.

x = (-b ± √D) / (2a), x = (3 ± √17) / 2.

Таким образом, у нас есть два значения x:

1. x1 = (3 + √17) / 2,
2. x2 = (3 - √17) / 2.

Теперь мы можем найти соответствующие значения y, используя первое уравнение (x - y = 3):

1. Для x1: (3 + √17) / 2 - y1 = 3 => y1 = (3 + √17) / 2 - 3,
2. Для x2: (3 - √17) / 2 - y2 = 3 => y2 = (3 - √17) / 2 - 3.

Теперь мы можем вычислить значения y:

1. y1 = (3 + √17) / 2 - 3 ≈ 0.56 см,
2. y2 = (3 - √17) / 2 - 3 ≈ -3.56 см.

Таким образом, отрезки x и y приближенно равны:

1. x1 ≈ 2.56 см, y1 ≈ 0.56 см,
2. x2 ≈ 0.44 см, y2 ≈ -3.56 см.

Отрицательное значение y2 не имеет физического смысла, поэтому нас интересует только первая пара значений:

x1 ≈ 2.56 см и y1 ≈ 0.56 см.

Итак, отрезки, на которые высота h = 2 см делит гипотенузу, равны приближенно 2.56 см и 0.56 см.