Question

Найдите наибольшее или наименьшее значение x^2-2x+4 2x^2+8x-1

Answer 1

........ ..........................

Answer 2

Для нахождения наибольшего или наименьшего значения функции \(x^2 - 2x + 4 + 2x^2 + 8x - 1\) мы можем воспользоваться методом завершения квадрата или использовать производные. Давайте рассмотрим оба способа.

Метод завершения квадрата

Для начала, давайте объединим подобные члены и преобразуем выражение: \[x^2 - 2x + 4 + 2x^2 + 8x - 1\] \[= 3x^2 + 6x + 3\]

Теперь, чтобы завершить квадрат, мы можем вынести общий множитель из первых двух членов: \[3(x^2 + 2x) + 3\]

Затем мы добавляем и вычитаем квадрат половины коэффициента при \(x\): \[3(x^2 + 2x + 1 - 1) + 3\]

Теперь мы можем переписать это выражение в виде суммы и разности квадратов: \[3((x + 1)^2 - 1) + 3\] \[= 3(x + 1)^2 - 3 + 3\] \[= 3(x + 1)^2\]

Производные

Мы также можем использовать производные для нахождения экстремумов этой функции. Для этого найдем производную функции \(f(x) = 3x^2 + 6x + 3\): \[f'(x) = 6x + 6\]

Теперь найдем точки экстремума, приравняв производную к нулю: \[6x + 6 = 0\] \[6x = -6\] \[x = -1\]

Таким образом, мы нашли, что при \(x = -1\) функция достигает своего минимального значения.

Вывод

Итак, наибольшее и наименьшее значение функции \(x^2 - 2x + 4 + 2x^2 + 8x - 1\) соответственно равны \(3(x + 1)^2\) и \(3\) и достигаются при \(x = -1\).