Question

Найдите все первообразные для функции f(x) (Доказательство обязательно!) а) f(x)=x^4-2x^2+x-1 б) f(x)=4 sinx-cos3x

Answer 1

Решение задания смотри на фотографии

Answer 2

Для нахождения первообразных (интегралов) функций, представленных вами, мы будем использовать метод интегрирования по частям и метод интегрирования с помощью замены переменных. Давайте начнем с первой функции:

a) f(x) = x^4 - 2x^2 + x - 1

1. Сначала выразим функцию f(x) как сумму мономов:

f(x) = x^4 - 2x^2 + x - 1 = x^4 - 2x^2 + (x - 1)

2. Теперь мы интегрируем каждый моном по отдельности:

Интеграл от x^4 dx = (1/5)x^5 + C1, где C1 - произвольная константа интегрирования. Интеграл от -2x^2 dx = (-2/3)x^3 + C2, где C2 - еще одна произвольная константа интегрирования. Интеграл от (x - 1) dx = (1/2)x^2 - x + C3, где C3 - третья произвольная константа интегрирования.

3. Теперь объединим интегралы и добавим константы:

F(x) = (1/5)x^5 + (-2/3)x^3 + (1/2)x^2 - x + C, где C - общая произвольная константа интегрирования.

Таким образом, первообразная для функции f(x) = x^4 - 2x^2 + x - 1 равна:

F(x) = (1/5)x^5 - (2/3)x^3 + (1/2)x^2 - x + C.

Теперь перейдем ко второй функции:

b) f(x) = 4sin(x) - cos(3x)

1. Для этой функции мы воспользуемся методом интегрирования с помощью замены переменных. Сначала давайте рассмотрим интеграл от sin(x):

Интеграл от sin(x) dx = -cos(x) + C1, где C1 - произвольная константа интегрирования.

2. Теперь рассмотрим интеграл от cos(3x). Для этого проведем замену переменной:

Пусть u = 3x, тогда du/dx = 3 и dx = du/3.

Интеграл от cos(u) * (1/3) du = (1/3)∫cos(u) du = (1/3)(-sin(u)) + C2, где C2 - еще одна произвольная константа интегрирования.

3. Теперь возвращаемся к исходной переменной x, заменяя обратно u = 3x:

(1/3)(-sin(u)) + C2 = (-1/3)sin(3x) + C2.

4. Теперь объединяем интегралы и добавляем константы:

F(x) = -cos(x) - (1/3)sin(3x) + C, где C - общая произвольная константа интегрирования.

Итак, первообразная для функции f(x) = 4sin(x) - cos(3x) равна:

F(x) = -cos(x) - (1/3)sin(3x) + C.

Таким образом, мы нашли первообразные для обеих функций с соответствующими доказательствами.