Question

Найдите геометрическую прогрессию с положительными членами, если отношение ее пятого члена в третьему равно 16, а сумма первых трех членов равна 63. Помогите, пожалуйста

Answer 1

Найдем знаменатель прогрессии:
$\cfrac{b_5}{b_3} =16 \ \ \to \ \ \cfrac{b_1 \cdot q^4}{b_1 \cdot q^2} =16 \ \ \to \ \ q^2=16 \ \ \to \ \ \ q=б4$
условию удовлетворяет только положительное значение знаменателя q=4

По формуле суммы первых членов геометр.прогрессии:
$\cfrac{b_1(4^3-1)}{4-1}=63 \\ \\ \cfrac{b_1(64-1)}{3}=63 \\\\ 63b_1=63 \cdot 3 \\ \\ b_1=3$

Искомая прогрессия: 3; 12; 48; 192; 768...

Answer 2

Давайте обозначим первый член геометрической прогрессии как "a" и её знаменатель (отношение между соседними членами) как "q". Тогда:

1. Пятый член прогрессии будет равен: a * q^4.
2. Третий член прогрессии будет равен: a * q^2.

Условие "отношение пятого члена к третьему равно 16" можно записать следующим образом:

(a * q^4) / (a * q^2) = 16

Сокращаем "a" в числителе и знаменателе:

q^4 / q^2 = 16

Теперь упростим левую часть уравнения, используя свойство степени с одинаковыми основаниями:

q^(4-2) = 16

q^2 = 16

Теперь найдем значение "q":

q = √16

q = 4 или q = -4 (мы выбираем положительное значение, так как геометрическая прогрессия должна иметь положительные члены).

Теперь, когда у нас есть значение "q", мы можем найти первый член "a". Для этого нам дано, что сумма первых трех членов равна 63:

a + a * q + a * q^2 = 63

Теперь подставим значение "q" (4):

a + a * 4 + a * 4^2 = 63

a + 4a + 16a = 63

21a = 63

a = 63 / 21

a = 3

Таким образом, первый член геометрической прогрессии равен 3, а её знаменатель равен 4. Таким образом, геометрическая прогрессия с заданными условиями будет:

3, 12, 48, 192, 768, ...