Question

1) Найти площадь четырехугольника с вершинами А(-1,0), В (-3, -4), С (-7, -5), D (-9, 0). 27, 26, 25, 24. 2) Найти все значения параметра А, при которых график функции y = (a-1)x^2 - ax +1 имеет единственную точку пересечения с осью абсцисс. 3) в равнобедренную трапецию с основанием 4 см и боковой стороной 10 см вписана окружность. Найти радиус окружности, описанной около этой трапеции.

Answer 1

1) Найти площадь четырехугольника с вершинами А(-1,0), В (-3, -4), С (-7, -5), D (-9, 0).

Найдём его площадь как разность большого прямоугольника и вычтем ненужные части. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов, а площадь прямоугольника равна произведению смежных сторон.

Ответ: 29.5

2) Найти все значения параметра А, при которых график функции $y=(a-1)x^{2} -ax+1$ имеет единственную точку пересечения с осью абсцисс.

Ось абсцисс - это ось X. Следовательно, уравнение должно иметь одно решение (пересечение) при $y=0$

Необходимо и достаточно, чтобы дискриминант был равен нулю.

$D=(-a)^{2}-4(a-1)=a^2-4a+4=(a-2)^2=0; a=2$

Ответ: 2

3) В равнобедренную трапецию с основанием 4 см и боковой стороной 10 см вписана окружность. Найти радиус окружности, описанной около этой трапеции.

Так как трапеция равнобедренная, то $AD=BC$

Если в четырехугольник вписана окружность, то суммы его противоположных сторон равны:

$AB+CD=AD+BC$

$4+CD=20; CD=16$

$AB=GH; GD=CH$ (по построению)

$2DG=CD-AB=16-4=12; DG=12/2=6$

По теореме Пифагора для треугольника ADG:

$AG=\sqrt{AD^{2}-DG^{2}}= \sqrt{10^{2}-6^{2}}=8$

$sin(ADC)=\frac{AG}{AD}=\frac{8}{10}=\frac{4}{5}$

По теореме Пифагора для треугольника ACG:

$AC=\sqrt{(CH+HG)^{2}+AG^{2}}= \sqrt{(6+4)^{2}+8^{2}}=\sqrt{164}=2\sqrt{41}$

По расширенной теореме синусов:

$\frac{AC}{sin(ADC)} =2R$

$2R=\frac{2\sqrt{41}}{0.8}= \frac{5}{2} \sqrt{41}$

$R=\frac{5}{4} \sqrt{41}$

Ответ: $\frac{5}{4} \sqrt{41}$ см.

Answer 2

1. Для нахождения площади четырехугольника ABCD с вершинами A(-1,0), B(-3,-4), C(-7,-5) и D(-9,0), мы можем разделить этот четырехугольник на два треугольника: ABC и ADC, а затем найти сумму их площадей.

Сначала найдем площадь треугольника ABC. Мы можем использовать формулу площади треугольника по координатам вершин:

Площадь ABC = 0.5 * |x1(y2 - y3) + x2(y3 - y1) + x3(y1 - y2)|

Где (x1, y1) = (-1, 0), (x2, y2) = (-3, -4), и (x3, y3) = (-7, -5).

Подставим значения:

Площадь ABC = 0.5 * |-1(-4 - (-5)) - (-3)(-5 - 0) - (-7)(0 - (-4))| Площадь ABC = 0.5 * |(-1)(-1) + (-3)(-5) + 7(4)| Площадь ABC = 0.5 * (1 + 15 + 28) Площадь ABC = 22

Теперь найдем площадь треугольника ADC, используя те же шаги:

Площадь ADC = 0.5 * |x1(y2 - y3) + x2(y3 - y1) + x3(y1 - y2)| Где (x1, y1) = (-9, 0), (x2, y2) = (-7, -5), и (x3, y3) = (-1, 0).

Подставим значения:

Площадь ADC = 0.5 * |-9(-5 - 0) - (-7)(0 - (-5)) - (-1)(-5 - 0)| Площадь ADC = 0.5 * (-45 + 35 + 5) Площадь ADC = 0.5 * (-5)

Теперь сложим площади обоих треугольников:

Площадь четырехугольника ABCD = Площадь ABC + Площадь ADC Площадь четырехугольника ABCD = 22 + (-2) Площадь четырехугольника ABCD = 20 квадратных единиц

Итак, площадь четырехугольника ABCD равна 20 квадратным единицам.

2. Чтобы найти значения параметра A, при которых график функции y = (a-1)x^2 - ax + 1 имеет единственную точку пересечения с осью абсцисс, нам нужно найти значения A, при которых дискриминант квадратного уравнения равен нулю.

Дискриминант квадратного уравнения вида ax^2 + bx + c = 0 равен D = b^2 - 4ac.

В данном случае, у нас есть уравнение y = (a-1)x^2 - ax + 1, поэтому a = (a-1), b = -a и c = 1.

Теперь мы можем записать уравнение для дискриминанта и приравнять его к нулю:

D = (-a)^2 - 4(a-1)(1) D = a^2 - 4(a-1)

Теперь решим уравнение D = 0:

a^2 - 4(a-1) = 0

Раскроем скобки и упростим уравнение:

a^2 - 4a + 4 = 0

Теперь мы можем решить это квадратное уравнение. Мы видим, что оно факторизуется следующим образом:

(a - 2)^2 = 0

Теперь возьмем квадратный корень с обеих сторон:

a - 2 = 0

И добавим 2 к обеим сторонам:

a = 2

Таким образом, единственное значение параметра A, при котором график функции имеет единственную точку пересечения с осью абсцисс, равно A = 2.

3. Для нахождения радиуса окружности, описанной около равнобедренной трапеции с основанием 4 см и боковой стороной 10 см, мы можем использовать следующее соображение: радиус описанной окружности равен половине диагонали трапеции.

Диагональ трапеции - это отрезок, соединяющий вершины оснований трапеции. Так как трапеция равнобедренная, диагональ можно разделить на две равные части, каждая из которых будет равна половине суммы длин оснований.

Длина каждого основания - 4 см, и их сумма составляет 4 + 4 = 8 см.

Таким образом, длина диагонали равна 8 см / 2 = 4 см.

Итак, радиус описанной около трапеции окружности составляет половину длины диагонали, то есть 4 см / 2 = 2 см.