Question

Найдите наименьшие нечетное натуральное число n при котором сумма 1+2+3…+n делится на 81

Answer 1

Сумма 1 + 2 + 3 + ... + n = n(n + 1)/2 = 81k

n(n + 1) = 162k

Число 162k является произведением двух последовательных чисел.

Можно разложить его на множители:

162k = 2*3^4*k = 2*81k = 3*54k = 6*27k = 9*18k = 18*9k = 27*6k = 54*3k = 81*2k

Произведения 2*81k = 3*54k = 6*27k = 9*18k очевидно, не подходят.

Возьмем 18*9k. Соседние с 18 числа 17 и 19 на 9 не делятся.

Возьмем 27*6k. Соседние с 27 числа 26 и 28 на 6 не делятся.

Возьмем 54*3k. Соседние с 54 числа 53 и 55 на 3 не делятся.

Возьмем 81*2k. Соседние с 81 числа 80 и 82 на 2 делятся.

Наименьшее n = 81, сумма равна 81*82/2 = 3321.

Ответ 81.

Answer 2

Чтобы найти наименьшее нечетное натуральное число n, при котором сумма 1 + 2 + 3 + ... + n делится на 81, мы можем воспользоваться формулой для суммы арифметической прогрессии:

S = (n * (n + 1)) / 2.

Теперь нам нужно найти такое n, чтобы S было кратно 81:

(n * (n + 1)) / 2 ≡ 0 (mod 81).

Домножим обе стороны на 2, чтобы избавиться от деления:

n * (n + 1) ≡ 0 (mod 162).

Теперь мы ищем наименьшее нечетное натуральное n, удовлетворяющее этому условию. Попробуем несколько значений n:

1. Пусть n = 1. Тогда n * (n + 1) = 1 * (1 + 1) = 2, что не делится на 162.
2. Пусть n = 3. Тогда n * (n + 1) = 3 * (3 + 1) = 12, что также не делится на 162.
3. Пусть n = 5. Тогда n * (n + 1) = 5 * (5 + 1) = 30, что тоже не делится на 162.

Продолжая таким образом, мы видим, что нам понадобится большее значение n. Попробуем n = 7:

4. Пусть n = 7. Тогда n * (n + 1) = 7 * (7 + 1) = 56, что делится на 162.

Итак, наименьшее нечетное натуральное число n, при котором сумма 1 + 2 + 3 + ... + n делится на 81, равно 7.