Question

Какой наименьший период может иметь дробь, являющаяся суммой дробей с наименьшими периодами 12 и 6? Плиз подробно с объяснениями.

Answer 1

Ответ:

4

Пошаговое объяснение:

Обозначим дробь с периодом  12 через  A Заметим, что дробь, имеющая период 6 (обозначим ее через B), так же имеет период и  12 . Сумма двух дробей с периодом 12 также имеет период 12 (но он, быть может, не наименьший). Наименьший период является делителем любого другого периода, поэтому  12 делится на этот наименьший период, который мы ищем. Но, заметим, что  6 на него делиться не может, так как иначе бы число  A=(A+B)-B имело бы также период 6 то противоречит условию. Значит, наименьшее подходящее число — это 4

Answer 2

Чтобы найти наименьший период для дроби, которая является суммой двух дробей с наименьшими периодами 12 и 6, нужно воспользоваться знанием о периодах в десятичных дробях.

Период десятичной дроби - это последовательность цифр, которая повторяется бесконечно в десятичном представлении этой дроби. Наименьший период для обыкновенной дроби 1/n (где n - целое число) равен k, если 10^k - 1 делится на n, и это k является наименьшим возможным. Давайте применим это правило к нашим двум дробям:

1. Дробь с наименьшим периодом 12: Это 1/12. Нам нужно найти такое наименьшее k, чтобы 10^k - 1 делилось на 12. 10^k - 1 делится на 12, если оно делится на 2 и на 3. Поскольку 10^k - 1 всегда делится на 2 (поскольку последняя цифра всегда четная), нам нужно удостовериться, что оно также делится на 3. Минимальное k, при котором это происходит, это k = 2. Таким образом, наименьший период для дроби 1/12 равен 2.

2. Дробь с наименьшим периодом 6: Это 1/6. Аналогично, мы ищем такое наименьшее k, чтобы 10^k - 1 делилось на 6. 10^k - 1 делится на 6, если оно делится на 2 и на 3. Минимальное k, при котором это происходит, это k = 1. Таким образом, наименьший период для дроби 1/6 равен 1.

Теперь мы хотим найти наименьший период для суммы этих двух дробей:

1/12 + 1/6 = (1/12) + (2/12) = 3/12

Заметьте, что общий знаменатель у нас уже 12. И так как период для 1/12 равен 2, период для 1/6 равен 1, а период для 3/12 также равен 2 (поскольку 3/12 = 1/4, и период для 1/4 составляет 2), то период для суммы 1/12 + 1/6 будет равен наименьшему общему кратному периодов, то есть наименьшему общему кратному числам 2 и 1, что равно 2.

Итак, наименьший период для дроби, являющейся суммой 1/12 и 1/6, составляет 2.