Question

Найдите первообразую функции y=x^2-2x-3 график которой проходит через точку (-1 ; 3)

Answer 1

$y=x^2-2x-3\\ \\ F(x)=\frac{x^{2+1}}{2+1}-2\cdot\frac{x^{1+1}}{1+1}-3x+C=\frac{x^3}{3}-2\cdot\frac{x^2}{2}-3x+C=\\ \\ =\frac{x^3}{3}-x^2-3x+C$

Так как первообразная функции проходит через точку $(-1;3)$, то $F(-1)=3$, значит,

$\frac{(-1)^3}{3}-(-1)^2-3\cdot(-1)+C=3\\ \\ -\frac{1}{3}-1+3+C=3\\ \\ C=1+\frac{1}{3}\\ \\ C=\frac{4}{3}$

Получаем, что $F(x)=\frac{x^3}{3}-x^2-3x+\frac{4}{3} =\frac{1}{3} (x^3-3x^2-9x+4)$

Ответ: $F(x)=\frac{1}{3} (x^3-3x^2-9x+4)$

Answer 2

Чтобы найти первообразную (интеграл) функции y = x^2 - 2x - 3, проходящей через точку (-1, 3), мы будем интегрировать это выражение относительно x. Первообразная будет иметь вид:

F(x) = ∫(x^2 - 2x - 3) dx

Для интегрирования этой функции, давайте разложим ее на три части и будем интегрировать каждую из них по отдельности.

F(x) = ∫x^2 dx - ∫2x dx - ∫3 dx

Теперь вычислим каждый из интегралов:

1. ∫x^2 dx = (1/3)x^3 + C1, где C1 - произвольная постоянная интегрирования.

2. ∫2x dx = x^2 + C2, где C2 - еще одна произвольная постоянная интегрирования.

3. ∫3 dx = 3x + C3, где C3 - третья произвольная постоянная интегрирования.

Теперь сложим эти три части вместе, чтобы получить общую первообразную:

F(x) = (1/3)x^3 + x^2 - 3x + C, где C = C1 + C2 + C3 - общая постоянная интегрирования.

Теперь мы знаем первообразную функции y = x^2 - 2x - 3:

F(x) = (1/3)x^3 + x^2 - 3x + C

Чтобы найти значение постоянной C, используем информацию о точке (-1, 3), через которую проходит график функции:

3 = (1/3)(-1)^3 + (-1)^2 - 3(-1) + C

3 = (-1/3) + 1 + 3 + C

3 = 4/3 + C

C = 3 - 4/3

C = 9/3 - 4/3

C = 5/3

Теперь мы знаем значение постоянной C, и окончательная первообразная функции выглядит так:

F(x) = (1/3)x^3 + x^2 - 3x + 5/3