Question

Найти все значения параметра k, при которых действительные корни x1,2 уравнения 2x²+(2+x)x-9=0 удовлетворяет соотношению (x1-x2)x1x2=27/8 * k.

Answer 1

2x² + (2 + x)·x - 9 = 0

2x² + 2x + x² - 9 = 0

3x² + 2x - 9 = 0

D = 112

x = (-2 - √112)/6 = (-1 - 2√7)/3

x = (-2 + √112)/6 = (-1 + 2√7)/3

По теореме Виета: x₁ · x₂ = -9/2.

((-1 - 2√7)/3 - (-1 + 2√7)/3) · (-9/2) = 27/8 · k

-4√7/3 · (-9/2) = 27/8 · k

6√7 = 27/8 · k

k = 48√7/27

((-1 + 2√7)/3 - (-1 - 2√7)/3) · (-9/2) = 27/8 · k

4√7/3 · (-9/2) = 27/8 · k

-6√7 = 27/8 · k

k = -48√7/27

Ответ: k = (+/-)48√7/27.

Answer 2

Для найти все значения параметра k, при которых действительные корни x₁ и x₂ уравнения 2x² + (2 + x)x - 9 = 0 удовлетворяют соотношению (x₁ - x₂)x₁x₂ = 27/8 * k, начнем с нахождения корней уравнения и их произведения.

Данное уравнение может быть решено с использованием дискриминанта. Сначала определим дискриминант:

D = b² - 4ac,

где a = 2, b = 2 + x, и c = -9.

Подставим значения:

D = (2 + x)² - 4 * 2 * (-9) = (4 + 4x + x²) + 72 = x² + 4x + 76.

Теперь найдем корни уравнения, используя квадратное уравнение:

x₁,₂ = (-b ± √D) / (2a).

x₁,₂ = (-(2 + x) ± √(x² + 4x + 76)) / (2 * 2) = (-2 - x ± √(x² + 4x + 76)) / 4.

Теперь найдем произведение корней:

x₁x₂ = ((-2 - x + √(x² + 4x + 76)) / 4) * ((-2 - x - √(x² + 4x + 76)) / 4).

x₁x₂ = ((-2 - x + √(x² + 4x + 76)) * (-2 - x - √(x² + 4x + 76))) / 16.

Теперь у нас есть выражение для x₁x₂. Мы хотим, чтобы оно равнялось 27/8 * k:

((-2 - x + √(x² + 4x + 76)) * (-2 - x - √(x² + 4x + 76))) / 16 = 27/8 * k.

Умножим обе стороны на 8:

(-2 - x + √(x² + 4x + 76)) * (-2 - x - √(x² + 4x + 76)) = 27k.

Теперь мы можем решить это уравнение для k. Раскроем скобки и упростим:

(4 + x² - (x² + 4x + 76)) = 27k.

4 - x² - x² - 4x - 76 = 27k.

-2x² - 4x - 72 = 27k.

-2(x² + 2x + 36) = 27k.

-2(x + 6)² = 27k.

Теперь разделим обе стороны на -2:

(x + 6)² = -27k/2.

(x + 6)² = -13.5k.

Теперь извлечем корни:

x + 6 = ±√(-13.5k).

x = -6 ± √(-13.5k).

Теперь мы видим, что корни x зависят от параметра k. Чтобы удовлетворить условию (x₁ - x₂)x₁x₂ = 27/8 * k, нужно найти такие значения k, при которых это соотношение выполняется.

Подставим выражение для x₁x₂ и корни x:

((-6 + √(-13.5k) - (-6 - √(-13.5k))) * (-6 + √(-13.5k)) * (-6 - √(-13.5k)) = 27/8 * k.

(2√(-13.5k)) * ((-6)² - (√(-13.5k))²) = 27/8 * k.

(2√(-13.5k)) * (36 + 13.5k) = 27/8 * k.

Упростим дальше:

(2√(-13.5k)) * 36 + (2√(-13.5k)) * 13.5k = 27/8 * k.

(2√(-13.5k)) * 36 = (27/8 - 2√(-13.5k)) * 13.5k.

Сделаем замену: u = √(-13.5k).

2 * 6 * u = (27/8 - 2u) * 13.5 * u.

12u = (27/8 - 2u) * 13.5u.

12u = 27/8 * 13.5u - 2 * 13.5u².

Теперь раскроем скобки и упростим:

12u = 27/8 * 13.5u - 2 * 13.5u².

12u = 27/8 * 13.5u - 27u².

Умножим все члены на 8, чтобы избавиться от дроби:

96u = 27 * 13.5u - 216u².

96u = 364.5u - 216u².

Теперь перенесем все члены влево:

216u² - 364.5u + 96u = 0.

216u² - 268.5u + 96u = 0.

216u² - 172.5u = 0.

Поделим обе стороны на 9, чтобы упростить уравнение:

24u² - 19.5u = 0.

Теперь факторизуем:

u(24u - 19.5) = 0.

Таким образом, у нас есть два возможных значения u:

1. u = 0.
2. 24u - 19.5 = 0.

Для первого случая u = 0, что приводит к k = 0 (так как u = √(-13.5k)).

Для второго случая решим уравнение:

24u - 19.5 = 0.

24u = 19.5.

u = 19.5 / 24.

Теперь найдем соответствующее значение k:

u = √(-13.5k).

(19.5 / 24) = √(-13.5k).

Возводим обе стороны в квадрат:

(19.5 / 24)² = -13.5k.

19.5² / 24² = -13.5k.

380.25 / 576 = -13.5k.

380.25 = -13.5k * 576.

380.25 = -7776k.

k = 380.25 / -7776.

k = -0.0488 (приближенно).

Итак, у нас есть два значения k:

1. k = 0.
2. k ≈ -0.0488.

Эти значения параметра k соответствуют условию (x₁ - x₂)x₁x₂ = 27/8 * k для действительных корней x₁ и x₂ уравнения 2x² + (2 + x)x - 9 = 0.