Question

Вычислите сумму 1/2003×2001 + 1/2003×2005 +.... 1/2017×2019В качестве ответа введите рациональную дробь, разделив числитель и знаменатель знаком "/".Например, 2/5.

Answer 1

$\displaystyle \frac{1}{2003\cdot2001}+\frac{1}{2003\cdot2005}+\frac{1}{2005\cdot2007}+...+\frac{1}{2017\cdot2015}+\frac{1}{2019\cdot2017}=\\ \\ =\frac{1}{2}\cdot \bigg(\frac{2003-2001}{2003\cdot2001}+\frac{2005-2003}{2005\cdot2003}+\frac{2007-2005}{2007\cdot2005}+...+\frac{2017-2015}{2017\cdot2015}+\\ \\ +\frac{2019-2017}{2019\cdot2017}\bigg)=\frac{1}{2}\cdot\bigg(\frac{1}{2001}-\frac{1}{2003}+\frac{1}{2003}-\frac{1}{2005}+\frac{1}{2005}-\frac{1}{2007}+...+\\ \\ +\frac{1}{2015}-\frac{1}{2017}+\frac{1}{2017}-\frac{1}{2019}\bigg)=\frac{1}{2}\cdot\bigg(\frac{1}{2001}-\frac{1}{2019}\bigg)=$

$=\displaystyle \frac{1}{2}\cdot\frac{2019-2001}{2019\cdot2001}=\frac{9}{2019\cdot2001}=\frac{1}{448891}$

Answer 2

Для вычисления данной суммы, мы можем сначала выразить общий член этой последовательности в виде рациональной дроби, а затем просуммировать его.

Общий член последовательности имеет вид:

1 / (2003 * (2003 + 2n))

Где n - номер элемента последовательности, начиная с нуля.

Теперь мы можем приступить к вычислению суммы:

Сумма = 1 / (2003 * 2001) + 1 / (2003 * 2005) + ... + 1 / (2017 * 2019)

= (1 / (2003 * 2001)) + (1 / (2003 * 2005)) + ... + (1 / (2017 * 2019))

= 1/2003 * [1/2001 + 1/2005 + ... + 1/2019]

Мы видим, что внутри скобки у нас получается сумма гармонической последовательности, которую можно записать следующим образом:

1/2001 + 1/2005 + ... + 1/2019 = (1/2001) + (1/2005) + (1/2009) + ... + (1/2017)

Это геометрическая прогрессия, где первый член a = 1/2001 и знаменатель r = 4/5.

Чтобы найти сумму геометрической прогрессии, мы можем использовать следующую формулу:

Сумма = a / (1 - r)

= (1/2001) / (1 - 4/5)

= (1/2001) / (1/5)

= 5/2001

Теперь мы можем подставить это значение обратно в исходное выражение:

Сумма = 1/2003 * (5/2001)

= 5 / (2003 * 2001)

Таким образом, сумма данной последовательности равна 5 / (2003 * 2001), и это и будет нашим ответом.