Question

Найти экстремумы функции y=x+1/x

Answer 1

х+1/х=1+1/х

У - минимальное если 1/х - наименьшее (тк 1 - константа), значит, х - максимальное

У - максимальное, если х стремится к 0

Answer 2

Для нахождения экстремумов функции $y = x + \frac{1}{x}$, начнем с вычисления ее производной и нахождения точек, где производная равна нулю. Эти точки будут потенциальными экстремумами функции. Затем мы проверим знаки производной в окрестности этих точек, чтобы определить, является ли экстремум минимумом или максимумом.

1. Вычислим производную функции $y = x + \frac{1}{x}$: $y' = 1 - \frac{1}{x^2}.$

2. Найдем точки, в которых производная равна нулю: $1 - \frac{1}{x^2} = 0.$

Решим это уравнение для $x$: $1 = \frac{1}{x^2}.$

Умножим обе стороны на $x^2$: $x^2 = 1.$

Теперь возьмем квадратный корень от обеих сторон: $x = \pm 1.$

Итак, у нас есть две точки, в которых производная функции равна нулю: $x = 1$ и $x = -1$.

3. Чтобы определить характер экстремума (минимум или максимум), используем вторую производную. Вычислим вторую производную функции $y$: $y'' = \frac{2}{x^3}.$

4. Теперь мы можем анализировать знаки второй производной в окрестности найденных точек:

   • Для $x = 1$: $y''(1) = \frac{2}{1^3} = 2$, что положительное число. Это означает, что в точке $x = 1$ функция имеет локальный минимум.
   • Для $x = -1$: $y''(-1) = \frac{2}{(-1)^3} = -2$, что отрицательное число. Это означает, что в точке $x = -1$ функция имеет локальный максимум.

Итак, у функции $y = x + \frac{1}{x}$ есть локальный минимум в точке $(1, 2)$ и локальный максимум в точке $(-1, -2)$.