Question

Исследовать функцию на монотонность ,найти экстремумы,построить график функции с помощью производной первого порядка. y=3x-x^3 Даю 30 БАЛЛОВ

Answer 1

у=3х-х³. Область определения - множество всех действительных чисел.

3х-х³ = 0

х(3-х²)=0 х=√3, х=-√3 - абсциссы точек пересечения с ОХ.

у'=3-3х².

3-3х²=0, х²=1, х=+-1 - критические точки. Определим знаки производной на интервалах.

_________ -1__________1___________

          -                   +                      -

-1 - точка минимума, +1 - точка максимума. у(-1)=-3+1=-2,      у(1)=3-1=2.

График проходит через начало координат, т.к. у(0)=0

Answer 2

ДАНО: Y = -x³ + 3*x

ИССЛЕДОВАТЬ.

1. Область определения D(x) - Х∈(-∞;+∞) - непрерывная.  

2. Пересечение с осью Х. Y=0 при х₁ = - √3 (-1,73), Х₂ = - 0, Х₃ = √3

Положительна - X∈(Х₁;Х₂)∪(Х₃;+∞), отрицательна - X∈(-∞;Х₁)∪(Х₂;Х₃).

3. Пересечение с осью У.  У(0) = -0.  

4. Поведение на бесконечности.limY(-∞) = + ∞  limY(+∞) = -∞  

5. Исследование на чётность.Y(-x) = -Y(x),  

Функция нечётная.  

6. Производная функции.Y'(x)= -3*x² -3  = -3*(x-1)(x+1).  

Корни при Х₁=  +1, Х₂ = -1  Схема знаков производной.

(-∞)__(<0)__(-1)___(>0)___(+1)__(<0)_____(+∞)

7. Локальные экстремумы.  

Максимум Ymax(+1)= 2 , минимум – Ymin(-1) = - 2.  

8. Интервалы возрастания и убывания.  

Убывает - Х∈(-∞;-1)∪(+1;+∞), возрастает - Х∈(-1;+1)

9. Вторая производная - Y"(x) = -6*x =0.  

Корень производной - точка перегиба  Х=0.  Y"(0)= 0.  

9. Выпуклая “горка» Х∈(0;+∞), Вогнутая – «ложка» Х∈(-∞;0).  

10. График в приложении.

Answer 3

Для исследования функции на монотонность, нахождения экстремумов и построения графика с использованием производной первого порядка, мы должны выполнить следующие шаги:

1. Найдем производную функции y = 3x - x^3.
2. Решим уравнение производной равной нулю, чтобы найти точки экстремума.
3. Определим интервалы монотонности функции.
4. Построим график функции.

Шаг 1: Найдем производную функции y = 3x - x^3. y'(x) = d/dx(3x - x^3) = 3 - 3x^2

Шаг 2: Найдем точки экстремума, приравнивая производную к нулю: 3 - 3x^2 = 0 3x^2 = 3 x^2 = 1 x = ±1

Таким образом, у нас есть две точки экстремума: x = 1 и x = -1.

Шаг 3: Определим интервалы монотонности функции:

3 - 3x^2 > 0, когда 3x^2 < 3, то есть -1 < x < 1. 3 - 3x^2 < 0, когда 3x^2 > 3, то есть x < -1 или x > 1.

Таким образом, функция возрастает на интервале (-1, 1) и убывает на интервалах (-бесконечность, -1) и (1, +бесконечность).

Шаг 4: Построим график функции:

Для построения графика учтем, что у нас есть две точки экстремума: x = 1 и x = -1. Также учтем интервалы монотонности.

Интервал (-бесконечность, -1): На этом интервале функция убывает. Таким образом, график будет идти вниз, приближаясь к оси x.

Интервал (-1, 1): На этом интервале функция возрастает. График будет идти вверх.

Интервал (1, +бесконечность): На этом интервале функция снова убывает. График будет идти вниз.

Теперь нарисуем график, учитывая это описание:

luaCopy code
    ^
    |        *
    |       *
    |      *
    |     *
    |    *
    |   *       *
    |  *         *
    | *           *
    |*             *
    +-------------------------------->
   -1             0              1

На графике видно, как функция убывает на интервалах (-бесконечность, -1) и (1, +бесконечность), а возрастает на интервале (-1, 1). Точки экстремума x = 1 и x = -1 отмечены звездочками.