Question

Найти наибольшее целое значение параметра а, пр котором неравенство : (а+4)x^2-2ax+2a-6<0 верно при всех действительных значениях х Помогите, пожалуйста. Даю 30 баллов

Answer 1

Знак неравенства меньше нуля, значит, нужно, чтоб квадратичная функция была расположена ниже оси абсцисс. Для этого требуется установить направление ветвь параболы. Очевидно, же что, когда ветви параболы направлены вниз и D<0(дискриминант меньше нуля), неравенство выполняется для всех действительных значения х.

$\begin{cases}& \text{}a+4$

Получаем решение системы неравенств $a$. То есть, при a ∈ (-∞;-6) неравенство (a+4)x²-2ax+2a-6<0 верно при всех действительных значения х. Наибольшее целое значение параметра а: а = -7.

Answer 2

Чтобы неравенство было верным для всех действительных значений x, дискриминант квадратного трехчлена (а+4)x^2 - 2ax + 2a - 6 должен быть отрицательным (так как в этом случае у квадратного трехчлена нет действительных корней и он всегда имеет один и тот же знак для любых значений x).

Дискриминант квадратного трехчлена ax^2 + bx + c равен D = b^2 - 4ac. В данном случае, a = (a + 4), b = -2a, и c = 2a - 6. Таким образом, дискриминант D равен:

D = (-2a)^2 - 4(a + 4)(2a - 6)

D = 4a^2 - 4(a + 4)(2a - 6)

D = 4a^2 - 4(2a^2 - 12a + 24)

D = 4a^2 - (8a^2 - 48a + 96)

D = 4a^2 - 8a^2 + 48a - 96

D = -4a^2 + 48a - 96

Теперь нам нужно найти максимальное целое значение параметра a, при котором D всегда отрицательный:

-4a^2 + 48a - 96 < 0

Делим обе стороны неравенства на -4 и меняем знак неравенства:

a^2 - 12a + 24 > 0

Теперь мы хотим найти значения a, для которых это квадратное уравнение положительно. Для этого можно воспользоваться методом интервалов или графически.

Факторизуем левую сторону:

(a - 6)(a - 4) > 0

Теперь видно, что неравенство будет положительным в двух интервалах: (−∞, 4) и (6, ∞), так как при значениях a, находящихся вне этих интервалов, один из множителей будет отрицательным.

Итак, чтобы неравенство было верным для всех действительных значений x, параметр a должен быть в интервале (−∞, 4) или (6, ∞). Максимальное целое значение a, удовлетворяющее этим условиям, равно 5. Поэтому наибольшее целое значение параметра a, при котором неравенство верно при всех действительных значениях x, равно 5.