Question

Помогите пожалуйста с зачетом пж ( 2 часть) 1. Сколько возможных значений имеет корень степени n=5 из комплексного числа z=1-2i. 2. Как выглядит общая формула Муавра для извлечения корня n- степени из комплексного числа? P.s. последние 2 остались помогите пж

Answer 1

1. Естественно, что 5.

2. А залезть в книжкв или интернет - не судьба?

$\sqrt[n]{z}=\sqrt[n]{|z|} (\cos \frac{arg z+2\pi k }{n} +i\sin \frac{arg z+2\pi k}{n} )\\k= 0, 1, 2, 3 \dots n-1$

Какой вообще зачет 2 января?

Answer 2

Конечно, давайте решим эти задачи.

Задача 1:

Сначала найдем модуль и аргумент комплексного числа $z = 1 - 2i$:

1. Модуль $r$: $r = |z| = \sqrt{1^2 + (-2)^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5}$

2. Аргумент $\theta$: $\theta = \arctan\left(\frac{-2}{1}\right) = \arctan(-2)$

Теперь мы можем выразить комплексное число в показательной форме: $z = \sqrt{5} \cdot \left(\cos(\theta) + i \sin(\theta)\right)$

Задача 2:

Общая формула Муавра для извлечения корня $n$-степени из комплексного числа выглядит следующим образом: $w_k = \sqrt[n]{r} \cdot \left(\cos\left(\frac{\theta + 2k\pi}{n}\right) + i \sin\left(\frac{\theta + 2k\pi}{n}\right)\right)$

где $k = 0, 1, 2, ..., n-1$ - номер ветви корня.

Теперь, подставим значения $r$ и $\theta$ из первой задачи в формулу Муавра для $n = 5$: $w_k = \sqrt[5]{\sqrt{5}} \cdot \left(\cos\left(\frac{\arctan(-2) + 2k\pi}{5}\right) + i \sin\left(\frac{\arctan(-2) + 2k\pi}{5}\right)\right)$

Это и есть общая формула Муавра для извлечения корня пятой степени из комплексного числа $z = 1 - 2i$.