Question

Хелп!!! 1) интеграл от 0 до 1 (х^2+1)^3 dx 2) интеграл от пи/2 до пи/3 sin t/ 1-cos t •dt

Answer 1

От 0 до 1 ∫(x²+1)³dx=∫(x⁶+3x⁴+3x²+1)dx
F(x)=x⁷/7+3x⁵/5+3x³/3+x
F(1)=1/7+3/5+1+1=26/35+2=2 26/35
F(0)=0   интеграл равен 2 26/35=96/35
----------------------------------------------
от π/2  до  π/3  ∫(sint/(1-cost))dt
z=1-cost   dz=sintdt
F(z)=∫1/zdz=lnz   пределы интегрирования t=π/2  z=1-cosπ/2=1
                                                                       t=π/3  z=1-cosπ/3=1/2                  опред.интеграл равен  F(1)-F(0.5)= ln(1) - ln (1/2) =0+ln2=ln2≈0.69
ответ ln2

Answer 2

Интеграл от 0 до 1 (x^2+1)^3 dx

Для решения данного интеграла, мы можем использовать метод замены переменной. Давайте обозначим x^2 + 1 как u, тогда dx будет равно 1/2 * du.

Теперь давайте найдем пределы интегрирования для новой переменной u. Когда x = 0, u = (0^2 + 1) = 1, и когда x = 1, u = (1^2 + 1) = 2.

Интеграл теперь принимает вид: ∫(0 to 1) (x^2+1)^3 dx = ∫(1 to 2) u^3 * (1/2) du.

Мы можем вынести константу 1/2 из-под знака интеграла: (1/2) * ∫(1 to 2) u^3 du.

Теперь мы можем интегрировать по переменной u: (1/2) * [u^4/4] (от 1 до 2).

Подставим границы интегрирования: (1/2) * [(2^4/4) - (1^4/4)] = (1/2) * [(16/4) - (1/4)] = (1/2) * [4 - 1/4] = (1/2) * [16/4 - 1/4] = (1/2) * [15/4] = 15/8.

Таким образом, интеграл от 0 до 1 (x^2+1)^3 dx равен 15/8.

Интеграл от π/2 до π/3 sin(t)/(1-cos(t)) dt

Для решения данного интеграла, мы можем использовать метод замены переменной. Давайте обозначим 1 - cos(t) как u, тогда sin(t) dt будет равно du.

Теперь давайте найдем пределы интегрирования для новой переменной u. Когда t = π/2, u = 1 - cos(π/2) = 1 - 0 = 1, и когда t = π/3, u = 1 - cos(π/3) = 1 - 1/2 = 1/2.

Интеграл теперь принимает вид: ∫(π/2 to π/3) sin(t)/(1-cos(t)) dt = ∫(1 to 1/2) du.

Мы можем интегрировать по переменной u: [u] (от 1 до 1/2).

Подставим границы интегрирования: 1/2 - 1 = -1/2.

Таким образом, интеграл от π/2 до π/3 sin(t)/(1-cos(t)) dt равен -1/2.