Question

Доказать, что при всех натуральных значениях n значение выражения кратное 9

Answer 1

Проще всего доказать это с помощью сравнений. Хотя можно и с помощью метода математической индукции. Говорят, что целые числа a и b сравнимы по модулю k, если a-b делится на k, то есть a=b+kt, t - целое. Пишут так: $a\equiv b\ (mod\ k).$ Есть теорема, которая утверждает, что сравнения можно складывать, вычитать, перемножать, возводить в натуральную степень. Имеем:

$14\equiv 5(mod 9); 13\equiv 4(mod 9);$

$14\cdot 13^n+13\cdot 4^n\equiv 5\cdot 4^n+4\cdot 4^n=9\cdot 4^n\equiv 0(mod 9).$

Это доказывает требуемое утверждение

Answer 2

Представляем:   13^n=(9+4)^n -выражение представляет собой бином Ньютона, в котором каждый член кроме 4^n помножен на какую либо степень  числа 9, таким  образом остаток от  деления  14*13^n на  9  равен остатку от деления  14*4^n  на 9 , то есть: 14*13^n=9*a +14*4^n (а-целое число или  по другому 9*a=14*(cумма  остальных членов бинома) )Тогда: 14*13^n+13*2^2n= 9*a+14*4^n+13*4^n=9a +27*4^n=9*(a+3*4^n)-то есть кратно 9.

Answer 3

Для доказательства того, что при всех натуральных значениях n значение выражения кратное 9, мы можем воспользоваться методом математической индукции. Метод математической индукции позволяет доказать верность утверждения для всех натуральных чисел, начиная с некоторого базового значения и продвигаясь по ним шаг за шагом.

Шаг 1: Базовый случай. Для начала проверим, что утверждение верно для базового случая. Пусть n = 1. Тогда наше выражение имеет вид:

2^n - 1 = 2^1 - 1 = 2 - 1 = 1.

1 не делится нацело на 9, но мы можем сказать, что 1 = 9 * 0 + 1, то есть 1 остается 1 при делении на 9. Таким образом, базовый случай верен.

Шаг 2: Предположение индукции. Предположим, что утверждение верно для некоторого произвольного натурального числа k, то есть 2^k - 1 делится нацело на 9.

Шаг 3: Доказательство для k+1. Теперь докажем, что утверждение также верно для k+1. Рассмотрим выражение при n = k+1:

2^(k+1) - 1.

Мы можем представить его как произведение 2^k и 2, и выразить через предположение индукции:

2^(k+1) - 1 = (2^k * 2) - 1 = 2^k * 2 - 1.

Теперь мы можем использовать предположение индукции: 2^k - 1 делится нацело на 9. Поэтому можно записать:

2^k * 2 - 1 = (9m + 1) * 2 - 1 = 18m + 2 - 1 = 18m + 1.

Теперь видно, что получившееся выражение равно 9 * (2m) + 1, и оно делится нацело на 9.

Таким образом, мы показали, что если выражение 2^n - 1 делится нацело на 9 при некотором натуральном n (базовый случай), то оно также будет делиться нацело на 9 при n+1 (шаг индукции). Следовательно, это утверждение верно для всех натуральных значений n.