Question

вычислить объем тела вращения фигуры, ограниченной графиками y=arcsin(x/5), y=arcsin(x), y=pi/2 вокруг оси oy​

Answer 1

$y=arcsin\frac{x}{5}\; \; \Rightarrow \; \; siny=\frac{x}{5}\; ,\; \; x=5\, siny\\\\y=arcsinx\; \; \Rightarrow \; \; x=siny\; \; ,\; \; y=\frac{\pi}{2}\\\\\\V=\pi \int\limits^a_b\, (x_1^2-x_2^2)\, dy=\pi \int\limits^{\frac{\pi}{2}}_0(25sin^2y-sin^2y)\, dy=24\pi \int\limits^{\gtav{\pi}{2}}_0\sin^2y \, dy=\\\\=12\pi \int\limits^{\frac{\pi}{2}}_0\, (1-cos2y)dy=12\pi (y-\frac{1}{2}\, sin2y)\Big |_0^{\frac{\pi}{2}}=\\\\=12\pi (\frac{\pi}{2}-\frac{1}{2}\, sin\pi )=6\pi ^2$

Answer 2

Для вычисления объема тела вращения фигуры вокруг оси Oy, ограниченной графиками функций y = arcsin(x/5), y = arcsin(x), и y = pi/2, мы можем использовать метод цилиндрических оболочек. Формула для объема такого тела имеет вид:

V = ∫[a, b] 2πx * f(x) * dx

Где a и b - границы интервала, на котором определена функция f(x).

В данном случае, нам нужно найти границы a и b, где графики функций y = arcsin(x/5) и y = arcsin(x) пересекаются. Для этого решим уравнение:

arcsin(x/5) = arcsin(x)

Для упрощения вычислений давайте перейдем к синусам обеих сторон уравнения:

sin(arcsin(x/5)) = sin(arcsin(x))

x/5 = x

Теперь решим это уравнение:

x/5 = x

Умножим обе стороны на 5, чтобы избавиться от дроби:

5 * (x/5) = 5 * x

x = 5x

Теперь нам нужно найти точку пересечения на графике функции y = arcsin(x), то есть значение x, при котором x = 5x. Это значение x = 0.

Таким образом, границы интеграла будут от 0 до какой-то точки b. Мы также должны учесть, что функция y = arcsin(x) ограничена в интервале от -1 до 1.

Теперь, чтобы вычислить объем, подставим функцию f(x) = pi/2 - arcsin(x) в формулу для объема:

V = ∫[0, b] 2πx * (pi/2 - arcsin(x)) dx

Теперь нужно найти значение b, для которого выполняется условие x = 5x:

x = 5x

1 = 5

Это уравнение не имеет решений, так как 1 не может быть равно 5. Таким образом, графики функций y = arcsin(x/5) и y = arcsin(x) не пересекаются.

Поэтому объем тела вращения фигуры ограниченной указанными графиками вокруг оси Oy равен нулю, так как фигура не имеет объема.