Question

Угол между боковыми рёбрами правильной четырехугольной пирамиды, не лежащими в одной грани, равен 120 градусам. Найдите плоский угол при вершине пирамиды. В ответе укажите косинус угла.

Answer 1

Примем сторону квадрата основания за 1.

Половина диагонали основания равна √2/2.

Теперь найдём длину L бокового ребра как гипотенузу при угле в 120/2 = 60°.  L = (√2/2)/cos 60° = (√2/2)/(1/2) = √2.

Боковая грань - равнобедренный треугольник с боковыми сторонами по √2 и с основанием в 1.

Для ответа находим косинус угла при вершине по теореме косинусов.

cos α = ((√2)² + (√2)² - 1²)/(2*√2*√2) = 3/4.

Answer 2

Давайте рассмотрим данную правильную четырехугольную пирамиду. У нас есть информация о том, что угол между боковыми рёбрами, не лежащими в одной грани, равен 120 градусам. При этом пирамида правильная, что означает, что все боковые грани равны между собой.

Теперь давайте рассмотрим треугольник, образованный тремя боковыми рёбрами пирамиды. Этот треугольник равнобедренный, так как все его стороны (боковые рёбра пирамиды) равны, и у нас есть угол между этими сторонами, который равен 120 градусам.

Чтобы найти косинус угла при вершине пирамиды, мы можем воспользоваться косинусным правилом в равнобедренном треугольнике. Пусть A, B и C - вершины треугольника, где A и B - вершины пирамиды, а C - середина бокового ребра пирамиды. Угол CAB (где A - вершина пирамиды, а C и B - середины боковых рёбер) равен половине угла при вершине пирамиды. Таким образом, угол CAB равен 120 градусам / 2 = 60 градусов.

Косинус угла CAB можно найти, используя косинусное правило: $\cos(60^\circ) = \frac{AC}{AB},$

где AC - половина длины бокового ребра пирамиды, а AB - длина бокового ребра пирамиды.

Так как пирамида правильная, то AC равно половине высоты пирамиды, а AB равно длине боковой грани пирамиды. Пусть h - высота пирамиды, а a - длина боковой грани пирамиды. Тогда:

$\cos(60^\circ) = \frac{\frac{h}{2}}{a}.$

Теперь мы можем решить это уравнение относительно косинуса угла:

$\cos(60^\circ) = \frac{h}{2a}.$

Теперь нам нужно выразить косинус угла:

$\cos(60^\circ) = \frac{1}{2} \cdot \frac{h}{a}.$

Мы знаем, что в правильной четырехугольной пирамиде боковая грань - равносторонний треугольник, поэтому диагональ боковой грани делит этот треугольник на два равнобедренных треугольника. Таким образом, косинус угла при вершине пирамиды равен:

$\cos(60^\circ) = \frac{1}{2} \cdot \frac{h}{a} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2h}{2a} = \frac{1}{2} \cdot \frac{h}{\sqrt{h^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2}}.$

Теперь мы можем упростить это выражение, заметив, что $\frac{a}{2}$ - это радиус вписанной окружности боковой грани, а $h$ - это высота пирамиды. Мы можем использовать теорему Пифагора, чтобы выразить $h$ через радиус $r$ и боковую сторону $a$:

$h = \sqrt{r^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2}.$

Подставляем это в наше выражение:

$\cos(60^\circ) = \frac{1}{2} \cdot \frac{h}{\sqrt{h^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{r^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2}}{\sqrt{r^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{r^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2}}{\sqrt{r^2 + \frac{a^2}{4}}}.$

Теперь мы можем упростить дальше, избавившись от корней в знаменателе:

$\cos (60^{\circ })=\frac{1}{2}\cdot \frac{\sqrt{r^2+{\left(\frac{a}{2}\right)}^2}}{\sqrt{r^2+\frac{a^2}{4}}}=\frac{\sqrt{4r^2+a^2}}{2\sqrt{r^2+\frac{a^2}{4}}}=\frac{\sqrt{4r^2+a^2}}{2\sqrt{r^2+\frac{a^2}{4}}}\cdot \frac{2}{2}=\frac{2\sqrt{4r^2+a^2}}{4\sqrt{r^2+\frac{a^2}{4}}}=\frac{\sqrt{4r^2+a^2}}{4\sqrt{r^2+\frac{a^2}{}}}$ 0 0