Question

Найти наибольшее и наименьшее значение функции y=(1-x)(x-4)^2​

Answer 1

(y-xy)×(2^2-8x+16)

x^2y-8xy+16y-x^3y+8x^2y-16xy

9x^2y-24xy+16y-x^3y

Answer 2

Для поиска наибольшего и наименьшего значений функции y = (1 - x)(x - 4)^2, мы должны сначала найти её производные и выяснить, где эти производные равны нулю.

1. Найдем первую производную функции y по x:

y = (1 - x)(x - 4)^2 y' = (1 - x)(2(x - 4)) + (1)(x - 4)^2 y' = (1 - x)(2x - 8) + (x - 4)^2 y' = 2x(1 - x) - 8(1 - x) + (x - 4)^2 y' = 2x - 2x^2 - 8 + 8x + x^2 - 8x + 16 y' = -x^2 + 2x + 16

2. Теперь найдем точки, где производная равна нулю:

0 = -x^2 + 2x + 16

Это квадратное уравнение, которое мы можем решить. Для этого перенесем все члены влево и используем квадратное уравнение:

x^2 - 2x - 16 = 0

Теперь используем квадратное уравнение:

x = (-b ± √(b² - 4ac)) / (2a)

где a = 1, b = -2, и c = -16. Подставив значения:

x = (2 ± √((-2)² - 4(1)(-16))) / (2(1)) x = (2 ± √(4 + 64)) / 2 x = (2 ± √68) / 2 x = (2 ± 2√17) / 2

Теперь найдем две точки, в которых производная равна нулю:

a) x₁ = (2 + 2√17) / 2 x₁ = 1 + √17 (наибольшее значение)

b) x₂ = (2 - 2√17) / 2 x₂ = 1 - √17 (наименьшее значение)

Теперь мы найдем значения функции y в этих точках:

a) y(x₁) = (1 - (1 + √17))(1 + √17 - 4)^2 y(x₁) = (-√17)(-√16)^2 y(x₁) = √17 * 16 y(x₁) = 16√17

b) y(x₂) = (1 - (1 - √17))(1 - √17 - 4)^2 y(x₂) = (√17)(-√20)^2 y(x₂) = -√17 * 20 y(x₂) = -20√17

Таким образом, наибольшее значение функции равно 16√17, а наименьшее значение функции равно -20√17.