Question

Основания ABC и A1B1C1 призмы ABCA1B1C1— равносторонние треугольники. Отрезок, соединяющий центр O основания ABC с серединой ребра A1B1, перпендикулярен основаниям призмы. Найдите угол между прямой BC и плоскостью ABC1, если высота призмы равна стороне основания.

Answer 1

Ответ:

∠CBD = arcsin(3√7/14) ≈ arcsin(0,567) => ∠CBD ≈ 34,6°.

Пошаговое объяснение:

Высота призмы - отрезок ОН1 по условию (так как он перпендикулярен основаниям). =>

АВ=ВС=АС=ОН1.

Основания призмы - правильные треугольники. Следовательно, центр основания АВС - точка О лежит на пересечении высот (медиан, биссектрис) этого треугольника.

Проведем высоту СН основания и опустим перпендикуляр С1Р на плоскость, содержащую основание АВС. Точка Р принадлежит продолжению прямой НС, так как РН - проекция С1Н на плоскость, содержащую основание АВС.

Прямоугольные треугольники ОН1Н и РС1С равны по катету С1Р=Н1О и гипотенузе С1С = Н1Н.

=> PC = OH = (1/3)*СН (так как СН - медиана и делится в отношении 2:1, считая от вершины).

СН = (√3/2)*а, где а - сторона треугольника. Пусть сторона основания равна 1. Тогда

СН = √3/2, а РН = РС+СН = (1/3)*(√3/2)+√3/2 = 2√3/3.

В прямоугольном треугольнике РС1Н по Пифагору

С1Н = √(С1Р²+РН²) = √(1+12/9) = √21/3.

Прямоугольные треугольники ∆СDН ~ ∆C1PH по острому углу С1НР.

Из подобия: СD/C1P = CH/C1H  =>  CD = CH*C1P/C1H  =>

CD = (√3/2)*1/(√21/3) = 3√7/14.

Sin(∠CBD) = CD/CB = 3√7/14.

∠CBD = arcsin(3√7/14) ≈ arcsin(0,567) => ∠CBD ≈ 34,6°.

Answer 2

Давайте обозначим следующие величины:

• Длина стороны треугольника ABC (основания призмы) равна "a".
• Высота призмы (расстояние от основания ABC до вершины A1) также равна "a".
• Пусть M - середина отрезка A1B1.
• O - центр основания ABC.

Из условия задачи известно, что отрезок MO перпендикулярен основаниям призмы ABCA1B1C1. Таким образом, MO будет перпендикулярен плоскости ABC1, и мы можем рассмотреть треугольник OMA1.

Треугольник OMA1 - это прямоугольный треугольник, так как MO перпендикулярен к основанию ABC, и A1M - это его медиана (серединный перпендикуляр). Поэтому мы можем использовать тригонометрические отношения для определения угла между прямой BC и плоскостью ABC1.

Пусть α - это угол между прямой BC и плоскостью ABC1. Тогда:

tan(α) = (AM / MO)

Мы можем найти AM, используя медиану треугольника A1B1C1:

AM = (1/2) * A1B1 = (1/2) * a

Теперь нам нужно найти MO. Из условия задачи мы знаем, что MO - это отрезок, соединяющий центр O основания ABC с серединой ребра A1B1. Поскольку ABC - равносторонний треугольник, то MO будет перпендикулярен BC и равен половине высоты призмы:

MO = (1/2) * a

Теперь мы можем найти тангенс угла α:

tan(α) = (AM / MO) = ((1/2) * a) / ((1/2) * a) = 1

Теперь найдем угол α, используя арктангенс:

α = arctan(1)

Так как tan(45°) = 1, то угол α равен 45 градусов:

α = 45°

Таким образом, угол между прямой BC и плоскостью ABC1 равен 45 градусов.