Question

Является ли группой множество G(•) R\{-1}; a•b=ab+a+b

Answer 1

Заметим для начала, что операция коммутативна

Проверим, может ли при каких-то a и b из G получиться в результате операции число не из G (то есть -1, так как, очевидно, результат операции - действительное число)

$ab+a+b=-1\\ab+a+b+1=0\\(a+1)(b+1)=0\\\left [ {{a=-1} \atop {b=-1}} \right.$

То есть посредством операции нельзя выйти из R\{-1}

Найдем нейтральный элемент по этой операции:

$a\cdot e=e\cdot a = a, \forall a\\a\cdot e=ae+a+e=a\\ae+e=0\\e(a+1)=0, \forall a\\e=0$ - нейтральный элемент существует

Проверим свойство ассоциативности:

$\forall a,b,c: \\(a\cdot b)\cdot c=(ab+a+b)\cdot c=abc+ac+bc+ab+a+b+c\\a\cdot(b\cdot c)=a\cdot (bc+b+c)=abc+ab+ac+a+bc+b+c=(a\cdot b)\cdot c$ - выполнено

Посмотрим, у каждого ли есть обратный элемент. Рассмотрим произвольный элемент a:

$a\cdot t=t \cdot a = e\\at+a+t=0\\(a+1)(t+1)=1\\a+1={1\over t+1}\\t={1\over a+1} - 1$

Обратный существует (так как a не равен -1), а также ${1\over a+1}\neq 0$, то есть значение выражения для t не может быть -1, а отсюда t лежит в G.

Таким образом, G - абелева группа.

Answer 2

Для определения, является ли данное множество G(•) группой относительно операции •, мы должны проверить выполнение четырех групповых аксиом: ассоциативность, существование нейтрального элемента, существование обратного элемента и замкнутость.

1. Ассоциативность: Операция • является ассоциативной, если для всех элементов a, b и c из G(•) выполняется (a • b) • c = a • (b • c). Давайте проверим это:

   (a • b) • c = (ab + a + b) • c = (ab + a + b)c + (ab + a + b) + c = abc + ac + bc + ab + a + b + c.

   a • (b • c) = a • (bc + b + c) = a(bc + b + c) + a + bc + b + c = abc + ab + ac + a + bc + b + c.

   Мы видим, что (a • b) • c ≠ a • (b • c), следовательно, операция • не ассоциативна.

2. Существование нейтрального элемента: Группа должна иметь нейтральный элемент, который выполняет a • e = a и e • a = a для всех элементов a в группе. В данном случае нейтрального элемента нет.

3. Существование обратного элемента: Каждый элемент a в группе должен иметь обратный элемент a^(-1) такой, что a • a^(-1) = e и a^(-1) • a = e, где e - нейтральный элемент. В данном случае, так как нет нейтрального элемента, нет и обратных элементов.

4. Замкнутость: Группа должна быть замкнутой относительно операции •, что означает, что результат операции для любых двух элементов из группы также должен быть элементом этой группы. В данном случае замкнутости также нет, так как операция • может привести к результатам, которые не являются частью множества R{-1}.

Итак, множество G(•) с операцией •, определенной как a • b = ab + a + b, не является группой, так как оно не удовлетворяет групповым аксиомам.