Question

(x^2+1)y''-2y=0 однородное уравнение Срочно

Answer 1

Ответ:

Данное дифференциальное уравнение относится к линейным дифференциальным уравнениям с постоянными коэффициентами.

Решение уравнения будем искать в виде y = e^(r*x). Для этого составляем характеристическое уравнение линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами:

r^2-r-2=0

D=1+4*2=1+8=9=3^2

r1=(1+3)/2=2

r2=(1-3)/2=-1

Корни характеристического уравнения:

r1=2

r2=-1

Следовательно, фундаментальную систему решений составляют функции:

y1=e^(-x)

y2=e^(2*x)

Общее решение однородного уравнения имеет вид:

y=C1*e^(-x)+C2*e^(2*x)

Answer 2

Данное дифференциальное уравнение является линейным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами. Давайте решим его.

Уравнение: (x^2 + 1)y'' - 2y = 0

Для начала, предположим, что решение имеет вид y(x) = e^(rx). Тогда y''(x) = r^2e^(rx). Подставим это в уравнение:

(x^2 + 1)r^2e^(rx) - 2e^(rx) = 0

Теперь мы можем делить обе стороны на e^(rx):

r^2(x^2 + 1) - 2 = 0

Раскроем скобки:

r^2x^2 + r^2 - 2 = 0

Теперь у нас есть квадратное уравнение относительно r. Решим его с помощью квадратного корня:

r^2 = (2 - r^2) / x^2

r = ±sqrt((2 - r^2) / x^2)

Таким образом, мы получили два решения для r:

1. r1 = sqrt((2 - r^2) / x^2)
2. r2 = -sqrt((2 - r^2) / x^2)

Теперь мы можем записать общее решение уравнения, используя принцип суперпозиции:

y(x) = c1e^(r1x) + c2e^(r2x)

где c1 и c2 - произвольные постоянные.

Это общее решение вашего уравнения.