Question

Найдите множество решений уравнения x^2+5y^2+4xy+2y+1=0

Answer 1

Выделив полные квадраты в левой части уравнения, получим

$(x+2y)^2+(y+1)^2=0$

Сумма двух положительных слагаемых равно нулю, когда каждое слагаемое равно нулю

$\displaystyle \left \{ {{x+2y=0} \atop {y+1=0}} \right.~~~\Rightarrow~~~\left \{ {{x=2} \atop {y=-1}} \right.$

Ответ: (2;-1).

Answer 2

Давайте попробуем решить уравнение $x^2 + 5y^2 + 4xy + 2y + 1 = 0$.

Для начала, давайте распишем уравнение в квадратичной форме относительно переменной $x$:

$x^2 + 4xy + 5y^2 + 2y + 1 = 0$

Заметим, что это выражение похоже на квадратное уравнение в переменной $x$. Попробуем представить его в виде суммы квадратного трехчлена и двух линейных членов:

$(x + ky)^2 + (ly + m) = 0$

Где $k$, $l$ и $m$ - некоторые константы. Раскроем скобки:

$x^2 + 2kxy + k^2y^2 + 2ly + m = 0$

Теперь сравним это с начальным уравнением:

2k = 4 \quad \text{(1)}\\ k^2 = 5 \quad \text{(2)}\\ 2l = 2 \quad \text{(3)}\\ m = 1 \quad \text{(4)} \end{cases}\] Из уравнения (1) получаем \(k = 2\), а из уравнения (2) - \(k^2 = 5\) или \(k = \pm\sqrt{5}\). Но так как \(k\) уже найдено как \(k = 2\), то \(k = -\sqrt{5}\) не подходит. Из уравнения (3) получаем \(l = 1\), а из уравнения (4) - \(m = 1\). Итак, у нас есть следующая квадратичная форма: \[(x + 2y)^2 - 5y^2 + 2y + 1 = 0\] Попробуем решить полученное уравнение: \[(x + 2y)^2 - 5y^2 + 2y + 1 = 0\] \[(x + 2y)^2 = 5y^2 - 2y - 1\] \[x + 2y = \pm\sqrt{5y^2 - 2y - 1}\] \[x = -2y \pm \sqrt{5y^2 - 2y - 1}\] Таким образом, множество решений уравнения \(x^2 + 5y^2 + 4xy + 2y + 1 = 0\) - это множество всех точек \((x, y)\), где \(x = -2y \pm \sqrt{5y^2 - 2y - 1}\).