Question

Помогитеее !!! Данные координаты вершин пирамиды а один а два а три а четыре. Средствами векторной алгебре найдите длину ребро а один а два, угол между рёбрами а один а два и а один а четыре, площадь грани а один а два а три, объем пирамиды. A1(8, 6, 4) A2(10, 5, 5) A3 (5, 6, 8) A4(8, 10, 7)

Answer 1

Відповідь: все розписано на фото)))

Покрокове пояснення:

Answer 2

Для нахождения длины ребра, угла между рёбрами, площади грани и объема пирамиды вам потребуется выполнить несколько шагов с использованием векторной алгебры.

1. Найдем векторы для рёбер:

Вектор a1a2: a1a2 = (10 - 8, 5 - 6, 5 - 4) = (2, -1, 1)

Вектор a1a4: a1a4 = (8 - 8, 10 - 6, 7 - 4) = (0, 4, 3)

2. Найдем длину ребра a1a2, используя формулу длины вектора:

|a1a2| = √(2^2 + (-1)^2 + 1^2) = √(4 + 1 + 1) = √6

3. Найдем длину ребра a1a4:

|a1a4| = √(0^2 + 4^2 + 3^2) = √(16 + 9) = √25 = 5

4. Найдем косинус угла между рёбрами a1a2 и a1a4, используя скалярное произведение векторов:

cos(θ) = (a1a2 * a1a4) / (|a1a2| * |a1a4|)

где "*" обозначает скалярное произведение. Подставим значения:

cos(θ) = ((2 * 0) + (-1 * 4) + (1 * 3)) / (√6 * 5) = (-4 + 3) / (√6 * 5) = -1 / (√6 * 5)

Теперь найдем угол θ, используя обратный косинус (арккосинус):

θ = arccos(-1 / (√6 * 5))

5. Найдем площадь грани a1a2a3, используя половину векторного произведения векторов a1a2 и a1a3:

Площадь = 0.5 * |(a1a2 × a1a3)|

где "×" обозначает векторное произведение. Найдем векторное произведение:

a1a2 × a1a3 = ((-1 * 1 - 1 * (-1)), (2 * 1 - 1 * 2), (2 * (-1) - (-1) * 2)) = (-2, 0, -4)

Теперь найдем модуль вектора (-2, 0, -4):

|(a1a2 × a1a3)| = √((-2)^2 + 0^2 + (-4)^2) = √(4 + 0 + 16) = √20 = 2√5

Таким образом, площадь грани a1a2a3 = 0.5 * 2√5 = √5.

6. Найдем объем пирамиды с вершиной в точке A1 и основанием a2a3a4. Используем формулу для объема пирамиды:

Объем = (1/3) * Площадь основания * Высота

Где площадь основания равна √5 (как мы рассчитали в шаге 5), а высота равна расстоянию от вершины A1 до плоскости a2a3a4. Для нахождения высоты, мы можем воспользоваться формулой для расстояния от точки до плоскости:

Высота = |(A1 - A2) * n| / |n|

Где n - нормальный вектор плоскости a2a3a4. Найдем нормальный вектор:

n = (a2a3 × a2a4)

a2a3 × a2a4 = ((-1 * 3 - 1 * (-3)), (1 * 0 - (-1) * 2), (1 * 2 - (-1) * 0)) = (-6, 2, 2)

Теперь найдем высоту:

Высота = |((8 - 10, 6 - 5, 4 - 5) * (-6, 2, 2))| / |(-6, 2, 2)|

Высота = |((-2, 1, -1) * (-6, 2, 2))| / |(-6, 2, 2)|

Высота = |((12, -2, 2) * (-6, 2, 2))| / |(-6, 2, 2)|

Высота = |((-72 - 4 + 4) / |(-6, 2, 2)|

Высота = |-72| / |(-6, 2, 2)| = 72 / |(-6, 2, 2)|

Теперь найдем модуль вектора (-6, 2, 2):

|(-6, 2, 2)| = √((-6)^2 + 2^2 + 2^2) = √(36 + 4 + 4) = √44 = 2√11

Таким образом, высота равна 72 / (2√11) = (36√11) / 11.

Теперь мы можем найти объем:

Объем = (1/3) * √5 * (36√11 / 11)

Объем = (12√55) / 11.