Question

Найдите все значения параметра а при каждом из которых ровно один корень уравнения больше 1: ах^2+4x+a+1=0

Answer 1

Пусть $f(x)=ax^{2}+4x+a+1$. Рассмотрим вместо него функцию $f(x+1)$.

Тогда задачу можно переформулировать: при каких значениях $a$ ровно один корень $f(x+1)$ положителен. $f(x+1)=a(x+1)^2+4(x+1)+a+1=ax^2+x(2a+4)+2a+5$.

Тогда $\frac{2a+5}{a}$ (при $a=0$ единственный корень меньше 1) и $(2a+4)^2-4a(2a+5)>0$. Решая эту систему, получаем $a\in(-5/2,\; 0)$

Answer 2

Для уравнения $ax^2 + 4x + a + 1 = 0$ мы хотим найти значения параметра $a$, при которых уравнение имеет ровно один корень $x$ больше 1.

Для того чтобы у уравнения был ровно один корень больше 1, дискриминант должен быть равен нулю, и этот корень должен быть больше 1.

Дискриминант уравнения $ax^2 + 4x + a + 1 = 0$ равен $D = 4^2 - 4a(a + 1)$. Мы хотим, чтобы этот дискриминант был равен нулю: $D = 0$. Таким образом, у нас получается уравнение:

$16 - 16a(a + 1) = 0$

Решим это уравнение для $a$:

$16 - 16a^2 - 16a = 0$

$16a^2 + 16a - 16 = 0$

$a^2 + a - 1 = 0$

Используем квадратное уравнение:

$a = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \times 1 \times (-1)}}{2 \times 1}$

$a = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}$

Таким образом, значения параметра $a$, при которых у уравнения есть ровно один корень больше 1, это:

$a_1 = \frac{-1 + \sqrt{5}}{2}$

$a_2 = \frac{-1 - \sqrt{5}}{2}$