Question

Знайдіть проміжки зростання і спадання функції y=-x^3+6x^2+7

Answer 1

y=x³+6x²+7

возрастание от (минус бесконечности, до минус 4) ( от нуля до + бесконечности)

Answer 2

Щоб знайти проміжки зростання і спадання функції $y = -x^3 + 6x^2 + 7$, спершу вам потрібно знайти похідну цієї функції та знайти її нулі. Похідна функції $y$ виглядає так:

$y' = \frac{d}{dx}(-x^3 + 6x^2 + 7) = -3x^2 + 12x.$

Тепер знайдемо нулі цієї похідної, вирішивши рівняння $y' = 0$:

$-3x^2 + 12x = 0.$

Давайте винесемо спільний множник:

$-3x(x - 4) = 0.$

Отже, ми маємо два нулі похідної: $x = 0$ і $x = 4$. Тепер розділимо весь вісь $x$ на три інтервали за допомогою цих нулів: $(-∞, 0)$, $(0, 4)$ та $(4, ∞)$.

Тепер визначимо знак похідної на кожному з цих інтервалів, щоб знайти проміжки зростання і спадання:

1. Для інтервалу $(-∞, 0)$ візьмемо $x = -1$ (прошу зауважити, що це значення менше 0) і підставимо його у похідну:

$-3(-1)^2 + 12(-1) = -3 - 12 = -15.$

Отже, на цьому інтервалі похідна від'ємна, тобто функція $y$ спадає.

2. Для інтервалу $(0, 4)$ візьмемо $x = 2$ (це значення знаходиться між 0 і 4) і підставимо його у похідну:

$-3(2)^2 + 12(2) = -12 + 24 = 12.$

На цьому інтервалі похідна додатня, тобто функція $y$ зростає.

3. Для інтервалу $(4, ∞)$ візьмемо $x = 5$ (прошу зауважити, що це значення більше 4) і підставимо його у похідну:

$-3(5)^2 + 12(5) = -75 + 60 = -15.$

На цьому інтервалі похідна від'ємна, тобто функція $y$ спадає.

Отже, проміжки зростання і спадання функції $y = -x^3 + 6x^2 + 7$ такі:

• Функція зростає на інтервалі $(0, 4)$.
• Функція спадає на інтервалах $(-∞, 0)$ і $(4, ∞)$.