Question

1) В треугольнике АВС АВ=ВС, точка О – центр вписанной окружности, точки Д и Е – точки касания вписанной окружности со сторонами АС и АВ соответственно, угол АВС равен 48 градусов. Найдите угол ДОЕ. 2) Окружность, вписанная в треугольник АВС, касается его сторон АВ, ВС и АС в точках К,М и Е соответственно, АК=ВМ=СЕ. Докажите, что треугольник АВС – равносторонний.

Answer 1

Углы при основании равнобедренного треугольника:

∠BAC = ∠BCA = (180° - ∠ABC)/2 = (180° - 48°)/2 = 66°

Рассмотрим четырехугольник AEOD, известно что касательная к окружности перпендикулярная к радиусу, проведенному в точку касания, т.е. ∠AEO = ∠ADO = 90°. Сумма углов четырехугольника равна 360°

∠DOE = 360° - 66° - 90° - 90° = 114°

Ответ: 114°

Answer 2

1. Для нахождения угла ∠DOE, нам нужно рассмотреть треугольник ODE. В данном случае, так как О - центр вписанной окружности, отрезки OD и OE являются радиусами этой окружности и, следовательно, равными между собой. Также, так как точки Д и Е - точки касания окружности со сторонами треугольника, углы ∠DAO и ∠EAO являются прямыми углами (поскольку радиус касается стороны треугольника под прямым углом).

Теперь мы можем рассмотреть треугольник ODE. В нем два равных радиуса (OD и OE) и два прямых угла (∠DAO и ∠EAO). Таким образом, этот треугольник является равнобедренным прямоугольным треугольником, и угол ∠DOE равен 90 градусов.

2. Для доказательства того, что треугольник ABC равносторонний, мы можем воспользоваться информацией о вписанной окружности.

По условию, окружность, вписанная в треугольник ABC, касается сторон AB, BC и AC в точках K, M и E соответственно, и длины отрезков AK, BM и CE равны между собой (АК = BM = CE).

Также, согласно свойству вписанных углов, угол между касательной и радиусом окружности равен углу, заключенному между этим радиусом и хордой, которую радиус пересекает. Таким образом, углы ∠AKB, ∠BMC и ∠CEA равны между собой.

Поскольку длины сторон AK, BM и CE равны, а углы, противолежащие им, равны, треугольник ABC является равнобедренным. Теперь, так как у него равные стороны и углы, треугольник ABC также равносторонний.