Question

100 Баллов! 10 человек стоят по кругу, все они разного возраста. Каждый сказал: «Я старше обоих своих соседей». а) Могло ли оказаться так, что все сказали правду? б) Могло ли оказаться так, что все солгали? в) Найдите наибольшее возможное количество человек, сказавших правду.

Answer 1

    а).

По условию нам известно, что все 10 человек имеют разный возраст. Следовательно, есть человек, который меньше всех по возрасту.

И куда бы мы его ни поставили, его соседи обязательно будут старше. Следовательно, сказав, что он "старше обоих соседей", он солгал.

И все правду сказать не могли (так как есть хотя бы один совравший - самый маленький).

Ответ: нет.

    б).

Здесь все будет точно также, как и в пункте "а", только наоборот.

В группе обязательно есть самый старший человек.

Так как он при любой расстановке старше своих соседей, то он обязательно скажет правду, и все солгать не могли.

Ответ: нет.

    в).

Чтобы решить этот пункт, заметим, что каждый из двух стоящих рядом людей правду сказать не мог, потому что первый из них будет, в частности, утверждать, что он старше второго, а второй - что он старше первого. При этом было бы очень странно, если бы оба высказывания были верными.

Так что среди любых двух стоящих рядом людей есть хотя бы один лжец.

Так пар стоящих рядом людей (и не пересекающихся между собой) есть ровно пять, то и лжецов будет хотя бы пять.

Значит, тех, кто сказал правду, будет пять или меньше. Докажем, что пять возможно - предъявим пример (на самом деле эти десять человек выстроены в круг, и те, кому по 1 и 10 лет, стоят рядом):

10, 8, 9, 6, 7, 4, 5, 2, 3, 1.

Подчеркнутые - говорят правду.

Ответ: 5 человек.

Answer 2

Давайте рассмотрим каждый из вопросов:

а) Могло ли оказаться так, что все сказали правду?

Это невозможно. Если человек стоит по кругу, то у него есть два соседа. Если он старше обоих своих соседей, это значит, что он сам является самым старшим. Но если все сказали правду, то у всех должны быть соседи, которые младше. Это противоречит тому, что кто-то самый старший.

б) Могло ли оказаться так, что все солгали?

Это также невозможно. Если все солгали, то это значит, что у каждого человека хотя бы один из его соседей старше. Но так как у каждого всего два соседа, это означает, что должен существовать хотя бы один человек, который младше всех остальных. Это противоречит тому, что все солгали.

в) Найдите наибольшее возможное количество человек, сказавших правду.

Поскольку невозможно, чтобы все сказали правду, рассмотрим случай, когда один человек сказал правду. Пусть этот человек имеет возраст X. Тогда его соседи должны быть младше него. Так как люди стоят в круге, у каждого человека есть два соседа. Таким образом, максимальное количество людей, сказавших правду, равно 2.

Итак, наибольшее возможное количество человек, сказавших правду, равно 2.