Question

Дослідіть функцію f (x) = x^4– 5х^2 + 4 і побудуйте її графік.​

Answer 1

Ответ:

Исследуем функцию и построим график f(x)=x4−5x2+4.

Общую схему исследования функции можно посмотреть здесь

1. Находим область определения x∈(−∞;+∞).

2. Находим область значения f(x)∈(−∞;+∞).

3. Определяем четность функции

f(−x)=(−x)4−5(−x)2+4=x4−5x2+4=f(x)

функция четная, т.е. она симметричная относительно оси Oy. Далле будем исследовать на области x∈[0;+∞) и воспользуемся симметрией.

4. Находим точки пересечения с осью Ox, т.е. y=0

x4−5x2+4=0=>x21,2=5±25−16−−−−−−√2=5±32=>

[ x2=4x2=1=>⎡⎣⎢⎢ x1=2x2=−2x3=1x3=−1

Координаты точек (1;0),(2;0) и симметричные (−1;0),(−2;0)

5. Находим точки пересечения с осью Oy, т.е. x =0

f(0)=x4−5x2+4=04−5∗02+4=4

Координаты точки (0;4)

6. Находим интервалы возрастания и убывания функции.

Найдем первую производную

f′(x)=(x4−5x2+4)′=4x3−10x

Приравняем производную к нулю и найдем критические точки (или стационарные точки)

4x3−10x=0=>x(4x2−10)=0=>⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢ x=0x=52−−√≈1.58x=−52−−√≈−1.58

Т.к. функция четная рассмотрим интервалы монотонности x∈(0;52−−√)∪(52−−√;+∞). Для определения монотонности найдем значение производной в любой точке интервала

интервал (0;52−−√) f′(1)=4x3−10x=4∗13−10∗1=−6<0 - функция убывает

интервал (52−−√;+∞) f′(10)=4∗103−10∗10=4000−100> 0 - функция возрастает.

7. Классифицируем критические точки (экстремумы или точками перегиба).

Изучаем изменение монотонности (знака производной) при переходе через критическую точку.

точка x=0, из симметрии видно, что слева производная больше нуля f′(x)>0 возрастает, справа меньше нуля f′(x)<0 убывает, т.е. знак меняется +0− - точка локального максимума (экстремум).Точка локального максимума имеет координаты (0;4)

точка x=52−−√, слева производная меньше нуля f′(x)<0 функция убывает , справа производная больше нуля f′(x)>0 функция возрастает, т.е. знак меняется −0+ - точка локального минимума (экстремум). Находим значение функции в этой точке f(52−−√)=(52−−√)4−5(52−−√)2+4=−94. Точка локального минимума имеет координаты (52−−√;−94)

8. Выпуклость. Находим интервалы выпуклости и точки перегиба.

Для этого найдем вторую производную

f′′(x)=(4x3−10x)′=12x2−10

Приравняем вторую производную к нулю

12x2−10=0=>x=±56−−√≈±0,91

В силу симметрии рассматривать выпуклость будет на интервале x∈(0;56−−√)∪(56−−√;+∞).

найдем значение функции в этой точке f(56−−√)=(56−−√)4−5(56−−√)2+4=1936.

Находим значения второй производной на интервалах выпуклости и определяем выпуклость графика функции:

интервал (0;56−−√). f′′(0,1)=12∗0.12−10<0 график функции имеет выпуклость вверх (выпуклый).

интервал (56−−√;+∞). f′′(1)=12∗12−10>0 график функции имеет выпуклость вниз (вогнутый).

Получили, что при переходе через точку x=56−−√ вторая производная меняет знак (выпуклость), т.е это точка перегиба. Координаты точки перегиба (56−−√;1936)

9. Строим график функции в правой полуплоскости и симметрично отображаем его в левую полуплоскость и получаем следующий график

Answer 2

Давайте спробуємо зрозуміти характеристики функції $f(x) = x^4 - 5x^2 + 4$.

1. Знаходження коренів:

   • Розв'язати рівняння $f(x) = 0$, щоб знайти корені (точки, де функція перетинає ось x).
   • Рівняння $x^4 - 5x^2 + 4 = 0$ може бути розв'язане шляхом підстановки $y = x^2$, щоб отримати квадратне рівняння, і після цього можна знайти значення x.

2. Знаходження екстремумів:

   • Знайти похідні функції та вирішити $f'(x) = 0$, щоб знайти можливі точки екстремуму.

3. Аналіз поведінки на нескінченності:

   • Дослідити поведінку функції при $x \to \pm\infty$.

4. Побудова графіка:

   • Зобразити графік функції для візуального розуміння її поведінки.

Давайте спочнемо з побудови графіка в Python за допомогою бібліотеки Matplotlib:

pythonCopy code
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# Визначення функції
def f(x):
    return x**4 - 5*x**2 + 4

# Генерація значень x в діапазоні
x_values = np.linspace(-3, 3, 400)
y_values = f(x_values)

# Побудова графіка
plt.figure(figsize=(8, 6))
plt.plot(x_values, y_values, label='$f(x) = x^4 - 5x^2 + 4$')
plt.axhline(0, color='black',linewidth=0.5)
plt.axvline(0, color='black',linewidth=0.5)
plt.title('Графік функції $f(x) = x^4 - 5x^2 + 4$')
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('f(x)')
plt.legend()
plt.grid(color = 'gray', linestyle = '--', linewidth = 0.5)
plt.show()

Цей код створить графік функції в заданому діапазоні. Після цього можна продовжити дослідження характеристик функції, як вказано вище.