Question

∑∞,n=1 . найдите радиус сходимости степенного ряда. помогите

Answer 1

Ответ:

1

Пошаговое объяснение:

Воспользуемся признаком Даламбера

$R=\lim\limits_{x\to \infty}|\frac{a_n}{a_{n+1}} |$

где $a_n=\frac{1}{n^2+3}$

Значит

$R=\lim\limits_{x\to \infty}|\frac{(n+1)^2+3}{n^2+3} |=\lim\limits_{x\to \infty}|\frac{(n+1)^2+3}{n^2+3} |=\lim\limits_{x\to \infty}|\frac{n^2+2n+4}{n^2+3} |$

Данный предел берется легко, достаточно разделить числитель и знаменатель на старшую степень

$R=\lim\limits_{x\to \infty}|\frac{1+\frac{2}{n}+\frac{4}{n^2} }{1+\frac{3}{n^2} } |=1$ .

Answer 2

Для того чтобы найти радиус сходимости степенного ряда, нам нужно использовать признаки сходимости. Рассмотрим степенной ряд:

∑ (от n=1 до ∞) aₙ(x - c)ⁿ

Первым шагом мы можем воспользоваться признаком Даламбера (также известным как признак корня):

r = lim |aₙ/aₙ₊₁| при n -> ∞

где "r" - радиус сходимости.

Если этот предел существует, то ряд абсолютно сходится при |x - c| < r и расходится при |x - c| > r. Если предел равен нулю, то ряд сходится для всех x, если предел равен бесконечности, то ряд сходится только в точке c.

Если предел равен какому-то положительному числу, то радиус сходимости r равен 1/это число.

Таким образом, чтобы найти радиус сходимости, нам нужно найти этот предел.