Question

Найдите количество корней уравнения sin2x=cosx принадлежащих к интервалу (0; 3Пи)

Answer 1

$sin2x=cosx\ \,\ \ x\in (\, 0\, ;\, 3\pi )\\\\2sinx\cdot cosx-cosx=0\\\\cosx\cdot (2sinx-1)=0\\\\a)\ \ cosx=0\ ,\ x=\dfrac{\pi}{2}+\pi n\ ,\ n\in Z\\\\b)\ \ sinx=\dfrac{1}{2}\ \ ,\ \ x=(-1)^{k}\cdot \dfrac{\pi}{3}+\pi k\ ,\ k\in Z\\\\c)\ \ x\in (\, 0\, ;\, 3\pi ):\ \ x=\dfrac{\pi}{3}\ ,\ \dfrac{\pi }{2}\ ,\ \dfrac{2\pi }{3}\ ,\ \dfrac{3\pi }{2}\ ,\ \dfrac{7\pi }{3}\ ,\ \dfrac{5\pi}{2}\ ,\ \dfrac{8\pi }{3}\ .$

Количество корней, принадлежащих заданному интервалу, равно  7 .

Answer 2

Давайте решим уравнение sin(2x) = cos(x) на интервале (0, 3π).

Используем тригонометрические тождества для преобразования уравнения:

1. sin(2x) = cos(x)
2. 2sin(x)cos(x) = cos(x) (применяем тригонометрическое тождество $sin(2x) = 2sin(x)cos(x)$)
3. 2sin(x)cos(x) - cos(x) = 0
4. cos(x)(2sin(x) - 1) = 0

Это уравнение имеет два решения:

1. cos(x) = 0 Это происходит, когда $x = π/2$ и $x = 3π/2$.

2. 2sin(x) - 1 = 0 Решим это уравнение: $2sin(x) = 1$ $sin(x) = 1/2$

   Это происходит, когда $x = π/6$ и $x = 5π/6$.

Таким образом, у нас есть следующие корни на интервале (0, 3π): $π/6, π/2, 5π/6, 3π/2$. Всего 4 корня.