Question

Помогите с решением -16+16i корней из 3 Нужно перевести в тригонометрическую и алгебраическую форму

Answer 1

Ну технически, алгебраическая форма записана в самом задании:

$z=-16+16i\sqrt3$

Далее: тригонометрическая:

$\displaystyle|z|=\sqrt{(-16)^2+(16\sqrt3)^2}=\sqrt{256+768}=\sqrt{1024}=32\\arg(z)=\pi+arctg(\frac{y}{x})=\pi+arctg(\frac{16\sqrt3}{-16})=\pi-arctg(\sqrt3)=\pi-\frac{\pi}{3}=\frac{2\pi}{3}\\z=|z|*(cos(arg(z))+i*sin(arg(z)))=32(cos\frac{2\pi}{3}+i*sin\frac{2\pi}{3})$

Ну и экспоненциальная:

$\displaystyle z=32(cos\frac{2\pi}{3}+i*sin\frac{2\pi}{3})=32*e^{\displaystyle\frac{2\pi}{3}i}$

Answer 2

Для перевода числа -16 + 16i в тригонометрическую и алгебраическую форму, мы можем воспользоваться комплексным числом вида:

$z = r \cdot (\cos(\theta) + i\sin(\theta))$

где:

• $r$ - модуль (длина) комплексного числа $z$, который можно найти как $\sqrt{\text{Re}^2 + \text{Im}^2}$, где $\text{Re}$ - действительная часть, а $\text{Im}$ - мнимая часть числа $z$.
• $\theta$ - аргумент комплексного числа $z$, который можно найти как $\arctan\left(\frac{\text{Im}}{\text{Re}}\right)$.

Сначала найдем модуль и аргумент для числа -16 + 16i:

$\text{Re} = -16$ $\text{Im} = 16$

$r = \sqrt{(-16)^2 + 16^2} = \sqrt{256 + 256} = \sqrt{512} = 16\sqrt{2}$

$\theta = \arctan\left(\frac{16}{-16}\right) = \arctan(-1) = -\frac{\pi}{4}$

Теперь мы можем записать число -16 + 16i в тригонометрической форме:

$-16 + 16i = 16\sqrt{2} \cdot \left(\cos\left(-\frac{\pi}{4}\right) + i\sin\left(-\frac{\pi}{4}\right)\right)$

В алгебраической форме оно уже дано:

$-16 + 16i$

Таким образом, число -16 + 16i в тригонометрической форме равно $16\sqrt{2} \cdot \left(\cos\left(-\frac{\pi}{4}\right) + i\sin\left(-\frac{\pi}{4}\right)\right)$, а в алгебраической форме оно равно $-16 + 16i$.