Question

Доказать: [0,1]∼[0,1)

Answer 1

Ответ:

Биекцию между А=[0,1] и B=(0,1) можно установить следующим образом. Поставим в соответствие точке 0 из A точку 1/2 из B, точке 1 из А - точку 1/4 из В, точке 1/2 из А - точку 1/8 из В, точке 1/4 из А - точку 1/16 из В, и т. д. : точке 1/2^k из А - точку 1/2^{k+2} из В, k = 0,1,2,...Остальные точки пусть переходят при этом соответствии в себя. Очевидно, построенное соответствие взаимно однозначно. Значит, A=[0,1] и B=(0,1) равномощны.

Answer 2

Для доказательства, что интервал [0,1] гомеоморфен интервалу [0,1), мы можем построить соответствующее непрерывное отображение (гомеоморфизм) между ними.

Давайте определим такое отображение. Пусть f: [0,1] → [0,1) будет задано следующим образом:

1. Для x в интервале [0, 1/2), пусть f(x) = x.
2. Для x равного 1/2, пусть f(1/2) = 0.
3. Для x в интервале (1/2, 1], пусть f(x) = x - 1/2.

Теперь давайте проверим, что это отображение является гомеоморфизмом:

1. Непрерывность: Очевидно, что f(x) непрерывно на интервале [0, 1/2) и на интервале (1/2, 1]. Он также непрерывен в точке x = 1/2, так как предел f(x) при x, стремящемся к 1/2, равен 0, что согласуется с определением непрерывности. Таким образом, f(x) непрерывно на всем интервале [0,1].

2. Взаимнооднозначность: Очевидно, что каждому x из интервала [0, 1] соответствует единственное значение f(x), так как отображение f(x) определено явно для каждой точки x.

3. Сюръективность: Для любого y в интервале [0, 1), существует x в интервале [0, 1], такое что f(x) = y. Если y < 1/2, то x = y, иначе x = y + 1/2. В обоих случаях x принадлежит интервалу [0, 1], и f(x) = y.

Таким образом, отображение f(x) удовлетворяет всем требованиям гомеоморфизма, и, следовательно, интервал [0,1] гомеоморфен интервалу [0,1).