Question

На столе лежит куча из 2020 камней. Из нее выбрасывают один камень и делят кучу на две (не обязательно равные) части. Затем из любой кучи, содержащей более двух камней, снова выбрасывают один камень и делят ее на две части и т.д. Можно ли через несколько ходов добиться того, чтобы во всех кучах, лежащих на столе, было ровно по 5 камней?

Answer 1

Ответ: нельзя

Пошаговое объяснение:

1)2020-1=2019. Разделим на 2 кучки 5+2014

2)2014-1=2013. уже есть 3 кучки 5+5+2008 (забираем из бОльшей)

3) 2008-1=2007. Теперь 4 кучки 5+5+5+2002 (забираем из бОльшей)

Как мы видим, каждый раз большая кучка уменьшается на 6 камней (5 переложили и 1 выкинули) Значит, начальное число должно быть кратным 6-ти, тогда все кучки будут по 5 камней.

делимость на 6: четное число+сумма цифр длится на 3.

2020-четное, но сумма цифр 2+2=4. Значит, число не кратно 6-ти, значит, условие не может быть выполнено.

Answer 2

Да, это возможно. Давайте посмотрим, как это сделать:

1. Начнем с кучи из 2020 камней. Выбросим один камень и разделим кучу на две части: 2019 и 1 камень.

2. Теперь у нас есть две кучи, 2019 и 1 камень. Выбросим один камень из кучи с 2019 камнями и разделим ее на две части: 2018 и 1 камень.

3. Продолжим этот процесс, выбрасывая один камень из кучи с 2018 камнями и разделяя ее на две части: 2017 и 1 камень, затем 2016 и 1 камень и так далее.

4. Мы продолжим этот процесс 2018 раз (поскольку изначально у нас было 2019 камней в первой куче). После этого у нас будет 2019 куча с по одному камню и одна куча с 1 камнем.

5. Выбросим один камень из кучи с 2019 кучей, разделим ее на две части: 2018 и 1 камень.

6. Теперь у нас есть две кучи с 2018 камнями. Мы можем продолжить процесс, как в шаге 3, разделяя каждую из них на две части, выбрасывая один камень и так далее. Мы повторим этот процесс 2018 раз.

7. После выполнения всех этих шагов у нас останется 2018 куч, каждая из которых содержит по одному камню.

Таким образом, после нескольких ходов мы можем добиться того, чтобы во всех кучах, лежащих на столе, было ровно по 5 камней.