Question

Найти общее решение: y''=x*sinx

Answer 1

Ответ:

решение на фотографии

Answer 2

Для нахождения общего решения дифференциального уравнения второго порядка $y'' = x\sin(x)$, давайте сначала найдем его частное решение и затем общее решение с помощью метода вариации постоянной.

1. Найдем частное решение $y_p(x)$. Мы видим, что правая часть уравнения содержит $x\sin(x)$, поэтому предположим, что частное решение имеет вид $y_p(x) = A x \sin(x) + B x \cos(x)$, где $A$ и $B$ - неопределенные константы, которые нужно найти.

Теперь дифференцируем $y_p(x)$ два раза:

$$y_p'(x) = A\sin(x) + Ax\cos(x) + B\cos(x) - Bx\sin(x)$$

$$y_p''(x) = 2A\cos(x) - 2B\sin(x)$$

Подставим $y_p(x)$ и его производные в исходное уравнение:

$$2A\cos(x) - 2B\sin(x) = x\sin(x)$$

Теперь сравним коэффициенты при $\sin(x)$ и $\cos(x)$ с обеих сторон уравнения:

Для $\sin(x)$:

$$-2B = 1 \implies B = -\frac{1}{2}$$

Для $\cos(x)$:

$$2A = 0 \implies A = 0$$

Итак, частное решение $y_p(x)$ равно:

$$y_p(x) = -\frac{1}{2}x\cos(x)$$

2. Теперь найдем общее решение $y(x)$ с помощью метода вариации постоянной. Общее решение будет состоять из суммы частного решения и общего решения однородного уравнения.

Уравнение однородного уравнения будет выглядеть так:

$$y'' = 0$$

И его общее решение будет иметь вид:

$$y_h(x) = C_1x + C_2$$

Где $C_1$ и $C_2$ - произвольные константы.

Теперь суммируем частное решение и общее решение однородного уравнения:

$$y(x) = y_h(x) + y_p(x) = C_1x + C_2 - \frac{1}{2}x\cos(x)$$

Где $C_1$ и $C_2$ - произвольные константы, и это и есть общее решение заданного дифференциального уравнения $y'' = x\sin(x)$.