Question

Прошу помогите Помогите решить дифференциальное уравнение y^2dx=(xy-x^2)dy это однородное диф ур-е. т. е с заменой y=u*x и y'=u'x+u

Answer 1

Ответ:

решение на фотографии

Answer 2

$y^{2} \, dx = (xy - x^{2})\, dy ~~~ \Big| \cdot \dfrac{1}{(xy - x^{2})\, dx}$

$\dfrac{y^{2}}{xy - x^{2}} = \dfrac{dy}{dx}$

$y' = \dfrac{y^{2}}{xy - x^{2}}$

Пусть $f(x;~y) = \dfrac{y^{2}}{xy - x^{2}}.$ Тогда $f(\lambda x;~\lambda y) = \dfrac{(\lambda y)^{2}}{\lambda x\lambda y - (\lambda x)^{2}} = \dfrac{\lambda^{2}y^{2}}{\lambda^{2}xy - \lambda^{2}x^{2}} =$

$=\dfrac{\lambda^{2} y^{2}}{\lambda^{2}(xy - x^{2})} =\lambda^{0}\dfrac{y^{2}}{xy - x^{2}}= \lambda^{0}f(x; ~ y).$

Имеем дифференциальное уравнение, однородное относительно переменных.

Подстановка: $y = ux, ~ y' = u'x + u,$ где $u = u(x)$

Имеем:

$u'x + u = \dfrac{(ux)^{2}}{x\cdot ux - x^{2}}$

$u'x + u = \dfrac{u^{2}x^{2}}{ux^{2} - x^{2}}$

$u'x + u = \dfrac{u^{2}x^{2}}{x^{2}(u - 1)}$

$u'x = \dfrac{u^{2}}{u - 1} - u$

$u'x = \dfrac{u^{2} - u(u-1)}{u - 1}$

$u'x = \dfrac{u^{2} - u^{2} + u}{u - 1}$

$\dfrac{du}{dx} \cdot x = \dfrac{u}{u - 1} ~~~ \Big| \cdot \dfrac{dx}{x} \cdot \dfrac{u-1}{u}$

$\dfrac{u-1}{u}\,du = \dfrac{dx}{x}$

$\displaystyle \int \dfrac{u-1}{u}\,du = \int \dfrac{dx}{x}$

$\displaystyle \int \left(1 - \frac{1}{u} \right)\,du = \int \frac{dx}{x}$

$u - \ln |u| = \ln |x| + C$

Обратная подстановка:

$\dfrac{y}{x} - \ln \left|\dfrac{y}{x} \right| = \ln |x| + C$

$C = \ln \left|\dfrac{y}{x} \right| + \ln |x| - \dfrac{y}{x}$

$C = \ln \left|\dfrac{y}{x} \cdot x \right| - \dfrac{y}{x}$

$C = \ln \left|y\right| - \dfrac{y}{x}$

Ответ: $C = \ln \left|y\right| - \dfrac{y}{x}$

Answer 3

Конечно, давайте решим данное дифференциальное уравнение с помощью метода однородных уравнений. Для этого мы сделаем замену переменных, предположив, что $y = ux$, а также заменим $dy$ и $dx$.

1. Замена $y = ux$:

   Теперь у нас есть $y$ в виде функции $x$: $y = ux$.

2. Замена $dy$ и $dx$:

   Мы также заменим $dy$ и $dx$ с помощью производных $u$:

   $dy = u\,dx + x\,du$ $dx = \frac{1}{u} (dy - x\,du)$

3. Подставим эти замены в исходное уравнение:

   $y^2\,dx = (xy - x^2)\,dy$ $(ux)^2\left(\frac{1}{u}(dy - x\,du)\right) = (xux - x^2)dy$

4. Упростим уравнение:

   $x^2(1 - u)\,du = x\,dy$

5. Теперь дифференциальное уравнение стало разрешимым:

   $x(1 - u)\,du = dy$

6. Разделим обе стороны на $(1 - u)$ и проинтегрируем:

   $\int \frac{1}{1 - u}\,du = \int \frac{1}{x}\,dy$

7. Выполним интегрирование:

   $-\ln|1 - u| = \ln|x| + C_1$

8. Применим экспоненту к обеим сторонам:

   $|1 - u| = e^{-\ln|x| - C_1} = \frac{1}{|x|e^{C_1}}$

9. Теперь избавимся от модуля, заметив, что $\frac{1}{|x|e^{C_1}}$ всегда положительное число. Также переименуем константу $C_1$ в новую константу $C$:

   $1 - u = \frac{1}{x\,e^C}$

10. Выразим $u$:

    $u = 1 - \frac{1}{x\,e^C}$

11. Теперь, вернемся к исходной переменной $y$ с учетом замены $y = ux$:

    $y = x\left(1 - \frac{1}{x\,e^C}\right)$

12. Упростим $1 - \frac{1}{x\,e^C}$:

    $y = x - \frac{1}{e^C}$

13. Итак, полученное решение дифференциального уравнения:

    $y = x - \frac{1}{e^C}$

где $C$ - произвольная константа.