Question

Вычислить пределы, используя правила Лопиталя limx→0 arcsin 5x+3x \cos ( π\2 −x)

Answer 1

...................................

Answer 2

Для вычисления предела этой функции при x, стремящемся к 0, вы можем применить правило Лопиталя. Правило Лопиталя позволяет нам вычислить предел функции f(x)/g(x), если предел f(x) и g(x) равен 0/0 или бесконечность/бесконечность.

Давайте разберемся с вашим выражением:

lim(x→0) [arcsin(5x) + 3x * cos(π/2 - x)]

Сначала найдем предел числителя и знаменателя отдельно:

1. Предел числителя: lim(x→0) arcsin(5x) = arcsin(0) = 0 (поскольку arcsin(0) = 0).

2. Предел знаменателя: lim(x→0) [3x * cos(π/2 - x)] = 0 * cos(π/2 - 0) = 0 (поскольку 0 * любое число равно 0).

Теперь оба предела равны 0/0, и мы можем применить правило Лопиталя. Для этого мы дифференцируем числитель и знаменатель по переменной x и снова найдем предел:

1. Первый шаг: Дифференцируем числитель и знаменатель:

   • По правилу дифференцирования arcsin(u) = u' / sqrt(1 - u^2): d/dx [arcsin(5x)] = (1/sqrt(1 - (5x)^2)) * 5 d/dx [arcsin(5x)] = 5 / sqrt(1 - 25x^2)

   • По правилу дифференцирования cos(u): d/dx [3x * cos(π/2 - x)] = 3 * [-sin(π/2 - x) + x * sin(π/2 - x)]

2. Второй шаг: Вычисляем предел новой функции: lim(x→0) [5 / sqrt(1 - 25x^2) + 3 * [-sin(π/2 - x) + x * sin(π/2 - x)]]

Теперь мы можем вычислить предел по x, стремящемуся к 0, для этой новой функции. Давайте вычислим пределы каждого слагаемого по отдельности:

1. Предел первого слагаемого: lim(x→0) [5 / sqrt(1 - 25x^2)] = 5 / sqrt(1 - 0) = 5 / 1 = 5

2. Предел второго слагаемого: lim(x→0) [-sin(π/2 - x) + x * sin(π/2 - x)] = -sin(π/2) + 0 * sin(π/2) = -1 + 0 = -1

Теперь сложим эти два предела:

5 + (-1) = 4

Таким образом, исходный предел

lim(x→0) [arcsin(5x) + 3x * cos(π/2 - x)]

равен 4.