Question

Докажите тавтологии: A→(B→A); (A→(B→C))→((A→B)→(A→C)); ( A→B)→(¬A→B)→B)

Answer 1

Пошаговое объяснение:

Доказать тавтологию - значит показать, что при всех истинностных значениях булевых переменных логическое выражение будет принимать только значение ИСТИНА.

Для первого логического выражения составляем таблицу (F - ЛОЖЬ, T - ИСТИНА):

$\left[\begin{array}{cccc}A&B&B\to A&A\to(B\to A)\\F&F&T&T\\F&T&F&T\\T&F&T&T\\T&T&T&T\end{array}\right]$

Видно, что последний столбец, соответствующий заданному логическому выражению, состоит только из значений ИСТИНА при любом наборе булевых переменных.

Для второго логического выражения также составляем таблицу:

$\left[\begin{array}{ccccccccccc}A&B&C&A\to B&A\to C&(A\to B)\to (A\to C)&B\to C& A \to (B\to C)&Func\\F&F&F&T&T&T&T&T&T\\F&F&T&T&T&T&T&T&T\\F&T&F&T&T&T&F&T&T\\F&T&T&T&T&T&T&T&T\\T&F&F&F&F&T&T&T&T\\T&F&T&F&T&T&T&T&T\\T&T&F&T&F&F&F&F&T\\T&T&T&T&T&T&T&T&T\end{array}\right]$

Видно, что последний столбец, соответствующий заданному логическому выражению, состоит только из значений ИСТИНА при любом наборе булевых переменных.

Таблица для третьего логического выражения:

$\left[\begin{array}{ccccccccccc}A&B&A\to B&\lnot A\to B&(\lnot A\to B)\to B&(A\to B)\to ((\lnot A\to B)\to B) \\F&F&T&F&T&T\\F&T&T&T&T&T\\T&F&F&T&F&T\\T&T&T&T&T&T\end{array}\right]$

Видно, что последний столбец, соответствующий заданному логическому выражению, состоит только из значений ИСТИНА при любом наборе булевых переменных.

Answer 2

Давайте докажем каждую из данных тавтологий:

1. A → (B → A):

   Для этой тавтологии давайте предположим A и B, и покажем, что A → (B → A) верно:

   • Предположим A и B истинны.
   • Тогда B → A также верно, так как если B истинно (в данном случае), то A также истинно.
   • Таким образом, A → (B → A) истинно.

2. (A → (B → C)) → ((A → B) → (A → C)):

   Давайте рассмотрим эту тавтологию:

   • Предположим, что A → (B → C) истинно, то есть если A верно, то B → C верно.
   • Предположим также, что (A → B) истинно, то есть если A верно, то B верно.
   • Теперь мы хотим показать, что (A → C) верно, то есть если A верно, то C верно.
   • Используем наше первоначальное предположение: если A верно, то B → C верно.
   • Так как мы также предположили, что (A → B) верно, то это означает, что B верно.
   • Теперь, так как B верно и B → C верно (из первоначального предположения), то C также верно.
   • Таким образом, (A → (B → C)) → ((A → B) → (A → C)) истинно.

3. (A → B) → (¬A → B) → B:

   Давайте рассмотрим эту тавтологию:

   • Предположим, что (A → B) верно, то есть если A верно, то B верно.
   • Теперь предположим, что (¬A → B) верно, то есть если ¬A верно (то есть A ложно), то B верно.
   • Теперь давайте рассмотрим два случая:
     • Если A верно, то (A → B) говорит нам, что B верно.
     • Если ¬A верно (то есть A ложно), то (¬A → B) говорит нам, что B верно.
   • Таким образом, в обоих случаях B верно.
   • Следовательно, (A → B) → (¬A → B) → B истинно.

Все три даные тавтологии доказаны.