Question

Решить систему уравнений методом Гаусса и методом Крамера 39х+у-30z=80; x+39y+30z=80; -30x+30y+100z=0

Answer 1

39х+у-30z=80

39x=80-y+30z

x=80/39-1/39y+10//♡13z

x=80/39-1/39y+10/13z

x+39y+30z=80

x=80-39y-30z

x=80-39y-30z

-30x+30y+100z=0

-30x=-30y-100z

x=y+10/3z

x=y+10/3z

Этот знак "/" дробь

Answer 2

Для решения данной системы уравнений методом Гаусса, мы сначала запишем ее в матричной форме [A|B], где A - матрица коэффициентов перед переменными, B - матрица правых частей, и затем применим метод Гаусса для приведения матрицы A к диагональному виду.

Исходная система уравнений:

1. 39x + y - 30z = 80
2. x + 39y + 30z = 80
3. -30x + 30y + 100z = 0

Матрица коэффициентов A и матрица правых частей B:

A = | 39 1 -30 | | 1 39 30 | | -30 30 100 |

B = | 80 | | 80 | | 0 |

Теперь применим метод Гаусса для решения этой системы. Сначала приведем матрицу A к диагональному виду:

Шаг 1: Вычтем из второй строки первую строку, умноженную на 1/39 (чтобы обнулить элемент (2,1)):

A' = | 39 1 -30 | B' = | 80 | | 0 38.97 30 | | 78.97| | -30 30 100 | | 0 |

Шаг 2: Вычтем из третьей строки первую строку, умноженную на -30/39 (чтобы обнулить элемент (3,1)):

A'' = | 39 1 -30 | B'' = | 80 | | 0 38.97 30 | | 78.97 | | 0 31.15 112 | | 0 |

Шаг 3: Теперь вычтем из третьей строки вторую строку, умноженную на 31.15/38.97 (чтобы обнулить элемент (3,2)):

A''' = | 39 1 -30 | B''' = | 80 | | 0 38.97 30 | | 78.97| | 0 0 76.94| | -81.99|

Теперь матрица A''' имеет диагональный вид. Мы можем найти решения для переменных, начиная снизу:

3. 76.94z = -81.99 z = -81.99 / 76.94 ≈ -1.064

Теперь, когда у нас есть значение z, мы можем найти значения x и y, используя обратную подстановку:

2. 38.97y + 30z = 78.97 38.97y + 30(-1.064) = 78.97 38.97y - 31.92 = 78.97 38.97y = 110.89 y = 110.89 / 38.97 ≈ 2.847

3. 39x + y - 30z = 80 39x + 2.847 - 30(-1.064) = 80 39x + 2.847 + 31.92 = 80 39x + 34.767 = 80 39x = 80 - 34.767 39x = 45.233 x = 45.233 / 39 ≈ 1.159

Итак, решение системы уравнений методом Гаусса: x ≈ 1.159 y ≈ 2.847 z ≈ -1.064

Теперь рассмотрим метод Крамера для решения системы. Мы уже имеем матрицу коэффициентов A и матрицу правых частей B. Для нахождения x, y и z по методу Крамера, мы будем вычислять определители матриц, заменяя столбцы A на столбец B.

1. Начнем с определителя матрицы A, который равен det(A) = 39 * 39 * 100 - 30 * 30 * 39 - (-30) * 1 * 1 = 152100 - 3510 + 30 = 148620.

2. Теперь вычислим определитель матрицы A, заменяя первый столбец (столбец x) на столбец B:

det(Ax) = 80 * 39 * 100 - 30 * 80 * 1 - (-30) * 78.97 * 1 = 312000 - 2400 + 2369.1 = 314969.1

3. Теперь вычислим определитель матрицы A, заменяя второй столбец (столбец y) на столбец B:

det(Ay) = 39 * 78.97 * 100 - (-30) * 80 * 39 - 30 * 80 * 78.97 = 309820 - 93600 - 188171.2 = 186048.8

4. Наконец, вычислим определитель матрицы A, заменяя третий столбец (столбец z) на столбец B:

det(Az) = 39 * 39 * 78.97 - 30 * (-30) * 78.97 - (-30) * 1 * 100 = 93309.63 + 70791 + 3000 = 167100.63

Теперь, чтобы найти значения переменных, используем формулы Крамера:

x = det(Ax) / det(A) ≈ 314969.1 / 148620 ≈ 2.12

y = det(Ay) / det(A) ≈ 186048.8 / 148620 ≈ 1.25

z = det(Az) / det(A) ≈ 167100.63 / 148620 ≈ 1.12

Итак, решение системы уравнений методом Крамера: x ≈ 2.12 y ≈ 1.25 z ≈ 1.12

Оба метода дают близкие результаты, и решения системы уравнений приближенно равны: x ≈ 2.12 y ≈ 1.25 z ≈ 1.12